inequality 2

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrare che per ogni x,y,z reali positivi vale x^3/yz+y^3/zx+z^3/xy>=x+y+z
 
 Buon divertimento
 
 Andrea84 alias Brend <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Sia x>=y>=z. Le terne (x³,y³,z³) e (1/yz,1/xz,1/xy) sono ordinate nello stesso verso. Allora, per la disuguaglianza di riarrangiamento
 
 x³/yz+y³/zx+z³/xy>=x³/x²+y³/y²+z³/z²=x+y+z
 
 So che potrete trovare la soluzione non soddisfacente, perchè applicazione immediata di un teorema, ma essa vuole essere uno stimolo per chi non lo conoscesse ad andarselo a guardare: come vedete, è molto potente.
 
 Buone feste a tutti, ci risentiamo

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Lord!
 Bella la soluzione(ben più corta della mia dove non applico il teorema che hai citato).
 Potresti dire due paroline su questa disuguaglianza di riarrangiamento?
 Grazie ancora
 
 Ciao e Buone feste a tutti !
 
 Andrea84 alias Brend

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

beh, a questo punto non posso che proporre questo problema:
 sia dato un triangolo di lati a,b,c, dimostrare che:
 
 ba^2(a-b)+cb^2(b-c)+ac^2(c-a)>=0
 
 ps:Lord se lo dovrebbe ricordare...
 pps:è un IMO <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, anche senza la disuguaglianza di riarrangiamento, la tua è equivalente a
 
 x4+y4+z4/3xyz>=(x+y+z)/3
 
 inoltre
 
 radquarta(x4+y4+z4/3)>=(x+y+z)/3
 
 per la disuguaglianza tra le medie. ora,
 
 x4+y4+z4/3xyz>=radquarta(x4+y4+z4/3)
 
 perchè, elevando alla quarta e prendendo la radice cubica, otteniamo la disugaglianza AM-GM per x4, y4, z4 (provare per credere!!) che è sempre verificata.
 
 (certo, usare la disug di riarrangiamento è molto + rapido ed elegante, ma non ho resistito... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
 
 andrea, la disuguaglianza di riarrangiamento dice:
 date due n-uple di reali x1>=x2>=...>=xn e y1>=y2>=...>=yn
 data una qualsiasi permutazione f dall\'insieme [1,2,...,n] in sè, la somma
 sumxiyf(i)
 è massima quando f è l\'identità, è minima quando f(i)=n+1-i
 (in sostanza è massima se accopi il numero + grande con il più grande, i due + grandi rimasti, ecc, ed è minima se accoppi il + grande con il + piccolo, and so on)
 bye

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

per quanto riguarda quella di Biagio,
 svolgiamo le parentesi, portiamo a secondo membro i termini con segno meno, dividiamo per (abc)2, e otteniamo
 
 a/bc2+b/ca2+c/ab2>=1/c2+1/a2+1/b2 (1)
 
 disuguaglianza equivalente a quella di prima.
 se supponiamo a>=b>=c, la terna (1/a,1/b,1/c) è ordinata in modo inverso, quindi, per la disug di riarrangiamento (guarda caso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) la (1) è sempre verificata

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-22 20:33, talpuz wrote:
 se supponiamo a>=b>=c, la terna (1/a,1/b,1/c) è ordinata in modo inverso, quindi, per la disug di riarrangiamento (guarda caso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) la (1) è sempre verificata
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 è ordinata in modo inverso rispetto a cosa?
 cioè, da quello che ho capito dovrebbe essere ordinata inversamente rispetto a (a/c^2, b/a^2,c/b^2), ma questo non è detto perchè dipende dai particolari valori di a,b,c.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 22-12-2003 21:02 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

ops...in effetti intravedo il baco (d\'oh!)
 comunque intendevo in modo inverso rispetto a (a,b,c)

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

beh, vi dò un aiuto:
 senza sfruttare il fatto che a,b,c siano lati di un triangolo, non so se si arriva comunque a dimostrarla...

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ci provo
 
 poniamo
 (a+b-c)/2=x
 (a+c-b)/2=y
 (b+c-a)/2=z
 
 otteniamo
 b= z+x
 c=z+y
 a=x+y
 
 con x,y,z>0
 
 sostituendo e semplificando arriviamo a :
 x^3y+y^3z+z^3x>=xy^2z+x^2zy+xyz^2
 ora è facile dimostrare che:
 
 x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2>=xy^2z+x^2zy+xyz^2
 
 quindi se dimostriamo che: x^3y+y^3z+z^3x>=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 abbiamo finito.
 e questo dovrebbe essere vero per il teorema detto \"bunching\"
 
 scusate le eventuali eresie e stupidaggini varie
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Andrea 84

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sei sicuro del \"bunching\"?
 se vale quello, allora anche senza fare quelle sostituzioni, basta che sviluppi le parentesi e porti a secondo mem i termini con segno meno, e hai
 
 ba3+cb3+ac3>=a2b2+c2b2+a2c2
 
 che dovrebbe essere vera...

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

no talpuz, tra la tua e quella di Andrea c\'è una differenza:
 io nella sua ci vedo l\'applicazione del \"bunching\" (che significa riarrangiamento, credo), nella tua no(o almeno non penso).
 comunque bravo Andrea, ti manca solo di esplicitare le ipotesi per applicare il teorema,che non sono ovvie, poi hai finito.

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-22 21:47, andrea84 wrote:
 
 x^3y+y^3z+z^3x>=xy^2z+x^2zy+xyz^2
 
 Andrea 84
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 la disuguaglinza giusta è questa... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 in effetti avevo letto un po\' veloce la sol. di Andrea.
 una volta arrivato a quella disuguaglianza non devi tornare indietro a quella di partenza, sennò tanto vale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 22-12-2003 22:33 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Biagio!
 Scusa non ho capito cosa intendi nel tuo ultimo post, cioè la mai soluzione è giusta?
 
 Ciao
 
 Andrea 84

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-22 21:47, andrea84 wrote:
 Ci provo
 
 poniamo
 (a+b-c)/2=x
 (a+c-b)/2=y
 (b+c-a)/2=z
 
 otteniamo
 b= z+x
 c=z+y
 a=x+y
 
 con x,y,z>0
 
 sostituendo e semplificando arriviamo a :
 x^3y+y^3z+z^3x>=xy^2z+x^2zy+xyz^2
 
 
 
 
 fin qua va tutto bene,poi non capisco il perchè di questi passaggi che in sostanza ti riportano al punto di partenza:
 
 
 On 2003-12-22 21:47, andrea84 wrote:
 ora è facile dimostrare che:
 
 x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2>=xy^2z+x^2zy+xyz^2
 
 quindi se dimostriamo che: x^3y+y^3z+z^3x>=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 abbiamo finito.
 e questo dovrebbe essere vero per il teorema detto \"bunching\"
 
 scusate le eventuali eresie e stupidaggini varie
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Andrea 84
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 22-12-2003 23:11 ]