3 esercizietti

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Si va bhè... ma così è brutto

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Grande Talpuz....questi excursus sono ben graditi (almeno per me)....Col fatto che mi avete fatto innervosire postando esercizi di cui nn capivo nemmeno il testo su integrali, limiti e roba simile, sto cercando ora di farmi una cultura, partendo dalle basi......nn dico che al momento capisco tutto ciò che scrivete, ma almeno ho una qualche idea !!!!!!

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, non preoccuparti, basta che prendi un po\' di familiarità con questi concetti, non è niente di \"troppo\" difficile...soprattutto se leggi libri divulgativi (tipo il + volte citato \"che cos\'è la matematica?\") che ti presentano questi concetti in maniera molto graduale...
 e cmq non pensare che io sappia + di tanto sulle derivate parziali... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 basta la definizione x utilizzarle nell\'esercizio... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 24-12-2003 22:04 ]

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

il problema sarebbe definire la \"concavità\"... non si riesce a fare nulla con le derivate di secondo ordine?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

purtroppo no...
 l\'ho chiesto anch\'io in un altro post, e mi è stato risposto che per le funzioni in 2 variabili serve avere informazioni su una \"matrice definita\" o roba del genere...
 comunque, intuitivamente, i due termini di secondo grado hanno coefficienti postivi, quindi non c\'è massimo, perchè lim[x,y->inf]f(x,y)=+inf
 nulla toglie però che quel punto sia un analogo del \"punto di flesso\" per le funzioni in 2 variabili...
 comunque, una volta trovati i presunti valori di x e y annullando le derivate parziali, si può tentare di fare un raccoglimento come quello fatto da Publio, per essere sicuri che il punto sia di minimo...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Io cerco di rispondervi, ma promettetemi che la smettete di parlare di analisi...
 
 dunque, una volta che avete determinato un punto in cui le derivate parziali si annullano, ovvero un punto critico, dovete svolgere uno studio sulle derivate seconde simile a quello che si fa nel caso di una sola variabile, solo un po\' più complicato:
 sia (d/dx)^2 F(x,y) la derivata seconda parziale in x di F(x,y) e similmente sia (d/dy)^2 F(x,y) quella in y; definiamo ora (d/dxdy) F(x,y) la derivata ottenuta derivando una volta in x e una volta in y.
 Ora, consideriamo l\'espressione:
 D=[(d/dx)^2 F(x,y)]*[(d/dy)^2 F(x,y)] - [(d/dxdy) F(x,y)]^2
 calcolata nel punto critico sopra trovato
 dunque:
 1) D>0 && (d/dx)^2 F(x,y)>0 (x,y,F(x,y)) è un minimo
 2) D>0 && (d/dx)^2 F(x,y)<0 (x,y,F(x,y)) è un massimo
 3) D<0 (x,y,F(x,y)) è un punto di sella
 4) D=0 sfiga (cioè non potete trarre nessuna conclusione)
 
 Per una funzione di secondo grado in x e y tutto questo è pressochè superfluo...c\'è un modo molto più elegante per risolvere il tutto. Cmq, se vi diverte...

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Sia P(x) un polinomio tale che P(0)=2 ; P(1)=4 ; P(2)=6 ; P(3)=56. Detrminare il resto nella divisione di P(x) per x(x-1)(x-2)(x-3)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 NOTA: supporremo che P(-) ed ogni altro polinomio coinvolto nel corso delle argomentazioni qui di seguito proposte siano (come presumo il proponente volesse intendere) polinomi reali di variabile reale.
 
 Per ogni x€R, si ponga D(x) := x(x -1)(x-2)(x-3). Per il teorema della divisione, quale che sia il polinomio P(-) la cui esistenza è postulata dalla traccia del quesito qui preso in esame, esistono univocamente deteminati due altri polinomi Q(-) ed R(-), con grado[R(-)] < grado[D(-)] = 4, detti rispettivamente quoziente e resto della divisione polinomiale di P(-) per D(-), tali che:
 
 p.o. x€R: P(x) = Q(x) * D(x) + R(x) ..................(1)
 
 ove p.o. si legge (come di consueto) \"per ogni\". Ergo, comunque scelto un x€R, può porsi: R(x) := r0x3+r1x2+r2x+r3, ove r0, r1, r2, r3€R. Osservando allora che, per costruzione: D(0) = D(1) = D(2) = D(3) = 0 e considerando inoltre che, in base ai dati forniti dal problema: P(0) = 2, P(1) = 4, P(2) = 6 e P(3) = 56, si trova (coerentemente con la (1)) che i coefficienti r0, r1, r2, r3 così introdotti soddisfano il sistema lineare:
 
 P(0) = R(0) ==> r3 = 2;
 P(1) = R(1) ==> r0 + r1 + r2 + r3 = 4;
 P(2) = R(2) ==> 8r0 + 4r1 + 2r2 + r3 = 6;
 P(3) = R(3) ==> 27r0 + 9r1 + 3r2 + r3 = 56;
 
 o equivalentemente:
 
 r3 = 2
 r0 + r1 + r2 = 2;
 4r0 + 2r1 + r2 = 2;
 9r0 + 3r1 + r2 = 18;
 
 Di qui, sottraendo membro a membro la III equazione dalla II e così pure la IV equazione del sistema dalla III, e sostituendo rispettivamente alla II e alla III le due altre equazioni così ottenute (come del resto è lecito in virtù di un noto risultato dell\'Albebra Lineare), si deduce ancora che le incognite r0, r1, r2, r3 sono tali per cui:
 
 r3 = 2
 3r0 + r1 = 0;
 5r0 + r1 = 16;
 r2 = 18 - 9r0 - 3r1;
 
 perciocché, in particolare, dovrà essere:
 
 3r0 + r1 = 0;
 5r0 + r1 = 16;
 
 e quindi (sottraendo ancora membro a membro): 2r0 = 16, ovvero r0 = 8, e di conseguenza: r1 = -3r0 = -3*8 = -24 ed r2 = 18 - 9r0 - 3r1 = 18 - 9*8 + 3*24 = 18 - (3 - 3)*24 = 18. Onde concluderne (riassumendo) che:
 
 p.o. x€R: R(x) = r0x3+r1x2+r2x+r3 = 8x3-24x2+18x+2
 
 che (guarda un po\' tu i casi della vita...) l\'espressione del polinomio richiesto dalla traccia del problema! Ciao... e alla prossima scomposizione!!!
 
 Salvo alias euler_25 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-12-2003 13:18 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

scusa la domanda, ma è strettamente necessario supporre P polinomio a variabile (o a coefficienti, anche) reali? non è univolcamente determinato in ogni caso? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

e il primo esercizio nessuno lo fa??

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-28 13:43, ma_go wrote:
 scusa la domanda, ma è strettamente necessario supporre P polinomio a variabile (o a coefficienti, anche) reali? non è univolcamente determinato in ogni caso? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 No, non è strettamente necessario... avrei potuto difatti operare (in modo perfettamente equivalente) in campo complesso piuttosto che in quello reale... se questo è ciò che intendevi! Ma proprio in virtù del fatto che le argomentazioni adottate nei due casi sarebbero state (sostanzialmente) le medesime, ho preferito operare in ambito reale (pagando magari qualcosa in termini di generalità...) pur di risultare più comprensibile a tutti!!! Non escluderei difatti la possibilità che, in seno a questo forum, possa esservi altresì qualcuno che non abbia mai sentito parlare dell\'insieme dei numeri immaginari! Per quanto mi riguarda, l\'eventualità non mi troverebbe per niente stupito, anzi sono ben conscio del fatto che la realtà è effettivamente quella che in questo mentre ti descrivo! Dunque, dovendo scegliere fra due impostazioni egualmente ammissibili e del tutto equivalenti sotto il profilo del rigore formale (ancorché, in verità, le opzioni disponibili non sarebbero soltanto quelle che qui ci stiamo limitando, per semplicità, a considerare...), personalmente, tendo a prediligire la strada che rende più agevole la comprensione da parte dei lettori, lasciando a loro (eventualmente) il compito (qualor ne avessero mezzi ed intenzione) di generalizzare quanto più possibile i risultati proposti!!! Questo, tuttavia, ribadisco, a parità di rigore!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: Edony, se nessuno dovesse postarla prima ch\'io abbia finito di metterla a punto, credo di aver escogitato una soluzione molto carina (e articolata) al I dei problemi da te proposti in questa sezione. Spero soltanto che nessuno mi batta sul tempo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-12-2003 18:26 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Evariste, non volermene a male, ma dopo aver letto il tuo ultimo post in seno a questo topic, mosso dalla consueta mia esecrabile pedanteria... non ho potuto fare a meno di rilevarvi (come dire) qualche imprudente imprecisione, in verità (non potrei certo nasconderlo) tutt\'altro che secondaria...
 
 ------- ----- ------
 
 Nella fattispecie, mi propongo nella successiva tranche di questo mio intervento di formalizzare il quadro teorico già fornito dall\'ottimo Samuele, limitandomi tuttavia ad un discorso di carattere non troppo generale, ancorché assolutamente rigoroso, ma piuttosto orientato alla risoluzione del problema di ottimizzazione proposto da Edony secondo l\'impostazione suggerita dal buon Talpuz.
 Preciso che tutto quanto qui di seguito riporto può essere facilmente reperito su un qualsiasi libro di Analisi a livello universitario, per cui il fatto che il nostro Samuele non abbia usato nel suo intervento la giusta dovizia e il doveroso puntiglio è da imputarsi (chiaramente!!!) alla sua tendenza (più volte da lui stesso palesata) a snobbare gli argomenti dell\'Analisi, ovvero (mi sia accordato l\'ardito sillogismo) a trattarli con una diffusa superficialità, e non di certo ad una sua improbabile (anzi, direi impensabile) pochezza in merito alle questioni di cui qui si discute!!! Ho voluto questa precisazione poiché stimo Samuele oltre ogni immaginazione (e tu lo sai bene, gran testone...<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">), e non vorrei ch\'egli potesse sospettare, anche soltanto per un istante, che il mio agire nei suoi confronti, qui come pure in altre occasioni, sia dettato dalla maliziosa volontà e dal desiderio malcelato di screditarlo in seno a questo forum, rilevandone qua e là errori e/o imprecisioni! Tanto più che un atteggiamento di simìl guisa si potrebbe dimostrare, a lungo termine, controproducente nei miei stessi riguardi!!! Ergo... beh, penso proprio di non dover aggiungere null\'altro! Il senso mi par chiaro... giusto, Evariste? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 Salvo Tr. alias euler_25 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-12-2003 18:34 ]

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Farò riferimento nel procedere di questo mio intervento ai seguenti risultati di Analisi ed Algebra:
 
 Proposizione 1: siano Ω un aperto non vuoto di R2 ed f(-) una qualunque funzione a valori reali di classe C1(Ω), ovvero derivabile con continuità (almeno) fino al primo ordine in tutto Ω. Condizione necessaria affinché un punto (x0, y0)€Ω sia di minimo relativo per f(-) in Ω è che (x0, y0) annulli il gradiente di f(-), ovvero che sia: grad f(x0, y0) = (0, 0), ove (ricordo) si pone, per ogni (x,y)€Ω: grad f(x, y) := (fx(x,y), fy(x,y)).
 
 Nota 1: faccio notare che, in relazione alla proposizione precedente, la corretta definizione del gradiente della f(-) in Ω è garantita dalle ipotesi di regolarità assunte sul conto di questa medesima funzione.
 
 Teorema 1: siano Ω un aperto non vuoto di R2 ed f(-) una qualunque funzione a valori reali di classe C2(Ω), ovvero derivabile con continuità (almeno) fino al secondo ordine in tutto Ω. Condizione sufficiente affinché un punto (x0, y0)€Ω sia di minimo relativo per f(-) in Ω è che:
 i) grad f(x0, y0) = (0, 0), ovvero che (x0, y0) sia, come s\'usa dire, un punto critico per f(-) in Ω;
 ii) H(x0, y0) abbia segnatura positiva,
 ove H(x, y) denota l\'hessiano della f(-) valutato in un punto generico di Ω, ovvero la matrice quadrata d\'ordine 2 qui di seguito definita:
 H(x,y) := [fxx(x,y), fxy(x,y); fxy(x,y), fyy(x,y)]
 essendo inteso che le entrate della matrice H(-) sono listate procedendo secondo le righe da sinistra a destra e dall\'alto verso il basso (per ragioni contingenti di scrittura).
 
 Nota 2: faccio notare che, in relazione alla proposizione precedente, la corretta definizione del gradiente e dell\'hessiano della f(-) in Ω è garantita dalle ipotesi di regolarità assunte sul conto di questa medesima funzione.
 
 Criterio di Sylvester: C.N.S. affinché una data matrice quadrata Q di ordine n (ove n è un intero positivo) a elementi reali sul campo reale sia definita positiva, ovvero (come anche s\'usa dire) abbia segnatura positiva, è che i minori principali di ordine k estratti da Q, per ogni k = 1, 2, ..., n, siano dotati tutti di segno positivo.
 
 Nota 3: con riferimento alla proposizione precedente, ricordo che i minori di ordine k estratti dalla matrice Q rappresentano non altro che i determinanti delle sottomatrici quadrate di ordine k ottenute da Q sopprimendovi (n - k) righe ed altrettante colonne; e in particolare, di tutti i possibili minori di ordine k così definiti, si dicono minori principali di ordine k quelli i cui elementi diagonali sono pure elementi diagonali della matrice Q.
 
 ------------ --- -- - ---------------
 
 Ciò premesso, veniamo finalmente al problema di minimizzazione proposto da Edony. Come già anticipato, mi limiterò a completare i dettagli della soluzione suggerita da Talpuz. In tal senso, posto:
 
 f(x,y) := x2 + 2xy + 3y2 + 6y + 4x, p.o. (x,y)€R2
 
 notiamo innanzitutto che f(-) è di classe C∞(R2), poiché funzione di tipo polinomiale in x ed y. Ciò garantisce (in particolare) l\'esistenza delle derivate parziali di primo e secondo ordine della f(-) in tutto il piano reale. Il calcolo dmostra quindi che, per ogni (x,y)€R2:
 
 fx(x,y) = 2(x+y+2);
 fy(x,y) = 2(x+3y+3);
 fxx(x,y) = fxy(x,y) = 2 > 0;
 fyy(x,y) = 6 > 0;
 
 onde dedurne che: grad f(x,y) = (0,0) se e soltanto se:
 
 fx(x,y) = 0 ==> x+y+2 = 0 ==> x = -3/2
 fy(x,y) = 0 ==> x+3y+3 = 0 ==> y = -1/2
 
 Dunque, in base alla proposizione (1), la coppia (-3/2, -1/2) rappresenta le coordinate dell\'unico possibile punto di minimo relativo per f(-) in R2, così come osservato a suo tempo dal buon Talpuz. Ora, è immediato stabilire che, per ogni (x,y)€R2:
 
 | H(x,y) | = fxx(x,y) * fyy(x,y) - [fxy(x,y)]2 = 2 * 6 - 22 = 8 > 0
 
 cosicché (per il criterio di Sylvester) l\'hessiano della f(-) risulta essere una matrice definita positiva sull\'intero dominio della funzione, ovvero in tutto il piano reale. Se ne conclude (per consistenza al teorema (1)) che P ≡ (-3/2, -1/2) rappresenta effettivamente un punto di minimo relativo per f(-), d\'altro canto finanche unico! E poiché (come già evidenziato dal solito Talpuz nel corso dei suoi precedenti interventi): lim||(x,y)|| --> +inf f(x,y) = + ∞, essendo ||∙|| la norma euclidea in R2, tanto è pure sufficiente per concludere, congiuntamente alla continuità della f(-), che P rappresenta nondimeno il punto di minimo assoluto della medesima funzione. Onde evincerne, in particolare, che il valore minimo m da questa assunto su tutto il piano reale è restituito dalla relazione:
 
 m = f(-3/2, -1/2) = [Dopo qualche miserevole calcolo] = -9/2
 
 E con questo... penso proprio di potermi fermar qui! Ciaaaooooooo...
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 --------- --------- ------------- --------------
 
 \"La verità matematica è immutabile; sta al di fuori della realtà fisica. Questa è la nostra fede, questa è la nostra motivazione di fondo, la nostra forza. Eppure, i tentativi che facciamo per descrivere questa fede ai nostri amici non matematici sono simili ai tentativi di descrivere l\'Onnipotente a un ateo...\" - Joel Spencer [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-12-2003 18:50 ]

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

Forse leggerò dopo la soluzione proposta da euler, anche se dubito che ci capirò qualcosa...cmq era un esercizio proposto a uno stage junior...credo proprio che ci sia una soluzione un pò più alla portata di tutti, e spero che altri (o lo stesso euler), si cimentino nel trovarla xchè io nn la riesco proprio a trovare

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-28 18:55, edony wrote:
 Forse leggerò dopo la soluzione proposta da euler, anche se dubito che ci capirò qualcosa...cmq era un esercizio proposto a uno stage junior...credo proprio che ci sia una soluzione un pò più alla portata di tutti, e spero che altri (o lo stesso euler), si cimentino nel trovarla xchè io nn la riesco proprio a trovare
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Edony, ciao! La soluzione che ho proposto non è elementare ma neppure troppo sofisticata! In ogni caso, l\'ho postata semplicemente perché qualcuno (vedi Talpuz e Info di lì a seguire) avevano imboccato la strada del calcolo differenziale e, non essendo riusciti a completare i dettagli dimostrativi, avevano espresso il desiderio che qualcuno li indicasse in vece loro!
 In quanto al resto, ti prometto che (se ne avrò tempo, poiché mi sto impegnando sul fronte di certe questioni, tutt\'altro che lievi, a suo tempo proposte all\'attenzione del forum dal caro MassiminoZippy) vedrò di tentare un approccio di risoluzione più \"elementare\", così come tu dici! D\'accordo? Per il momento, ciao... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 28-12-2003 19:17 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Hmm edony, la soluzione che da publiosulpicio alla prima pagina di questo thread è la più olimpica possibile, standard e accessibile a chiunque conosca abbastanza bene polinomi e operazioni connesse. Lascia perdere queste corbellerie impelagate tra de storti, gradienti e hessiane...questi problemi di minimo (almeno alle olimpiadi) si risolvono quasi sempre trovando un modo furbo di esprimere il polinomio come somma di quantità positive in x e y più una costante e quindi minimizzando le due quantità positive (di solito, se hai fatto bene i conti, si annullano...).