Trovare tutte le soluzioni intere positive (zero escluso) dell\'equazione:
<BR>a^(b^2)=b^a
<BR>In teoria dovrei averlo risolto ma vorrei una conferma.
<BR>A proposito, mi sono appena iscritto.
Problema dalle IMO di qualche anno fa..
Moderatore: tutor
Osserviamo che se a=1 allora b=1, quindi (1,1) è soluzione. Di qui in poi supporremo a=/=1.
<BR>Il primo e il secondo membro sono due potenze a base intera ed esponente intero uguali, quindi possono essere entrambe scritte come potenze razionali della stessa base (a^b=c^d, d=b*d/b --> c=a^(d/b)). Scriviamo dunque b=a^(m/n) e otteniamo a^a^(2m/n)=a^(am/n) ---> a^(2m/n)=am/n. Ma potenze razionali di numeri interi sono o numeri interi o numeri irrazionali, perciò am/n è intero. Poniamo dunque m/n=p e dividiamo per a in modo da ottenere a^(2p-1)=p cioè a^p*a^(p-1)=p. Ora il primo membro è >= a^p, e a^p > p per a>1 e p intero (la cosa può essere facilmente provata per induzione, a^2 > 2 perché 2^2 > 2 e x^2 è crescente, a^p > p implica a^(p+1) > ap, e ap >= p+1), quindi l\'equazione non è mai verificata e l\'unica soluzione è (1,1)
<BR>Il primo e il secondo membro sono due potenze a base intera ed esponente intero uguali, quindi possono essere entrambe scritte come potenze razionali della stessa base (a^b=c^d, d=b*d/b --> c=a^(d/b)). Scriviamo dunque b=a^(m/n) e otteniamo a^a^(2m/n)=a^(am/n) ---> a^(2m/n)=am/n. Ma potenze razionali di numeri interi sono o numeri interi o numeri irrazionali, perciò am/n è intero. Poniamo dunque m/n=p e dividiamo per a in modo da ottenere a^(2p-1)=p cioè a^p*a^(p-1)=p. Ora il primo membro è >= a^p, e a^p > p per a>1 e p intero (la cosa può essere facilmente provata per induzione, a^2 > 2 perché 2^2 > 2 e x^2 è crescente, a^p > p implica a^(p+1) > ap, e ap >= p+1), quindi l\'equazione non è mai verificata e l\'unica soluzione è (1,1)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>am/n è intero. Poniamo dunque m/n=p
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>[imbarazzo...]
<BR>am/n è intero. Poniamo dunque m/n=p
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>[imbarazzo...]
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]