io so solo che dovrebbero servire per esprimere in formula chiusa le somme di potenze degli interi...
<BR>qualcuno ha voglia di scrivere qualcosa in merito?
<BR>tipo come si ricavano, e come si applicano esattamente...??
<BR>thnx
numeri di Bernoulli
Moderatore: tutor
I numeri di Bernoulli hanno miriadi di applicazioni, anche se sono nati per calcolare la somma delle k-esime potenze dei primi p interi, ovvero per aiutare i primi passi del calcolo infinitesimale. Saltano poi fuori negli sviluppi in serie di molte funzioni note quali (spero di ricordar bene) tanhx o 1/sinx; sono usati in teoria dei numeri e mi pare anche in un qualche settore della topologia (ma qui non ne so molto...anzi, quasi nulla).
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<BR>In origine li aveva introdotti un Bernoulli (Jakob, credo) in un trattato sulla probabilità e quindi la combinatoria (Ars conjectandi o giù di lì). Egli aveva notato che le formule particolari che davano questa o quella somma per un certo valore di k e di p, avevano certi coefficienti ricorrenti indipendenti appunto da k e p. Egli postulò che la formula generale fosse:
<BR>
<BR>s_k(p)=Sum( (Bi/i!)*(k!/(k+1-i)!)*p^(k+1-i) )
<BR>
<BR>s_k(p)=somma di 1^k + 2^k + ... + p^k Bi i-esimo numero di Bernoulli
<BR>
<BR>Questo però non dice come calcolarli...ebbene, proprio il fatto che essi compaiano anche nell\'espansione in serie di molte funzioni aiuta a calcolarli. Di solito si usa la funzione
<BR>
<BR>F(z)=z/(e^z - 1)=Sum Bi*z^k/k!
<BR>
<BR>Oppure, puoi anche usare la relazione ricorsiva che c\'è tra questi simpatici numeretti:
<BR>
<BR>Bn=(-1/(n+1)*SumC(p+1,i)*Bi C(n,k) coeff binom
<BR>
<BR>che può essere ottenuta facilmente dalla formula per s_k(p).
<BR>
<BR>Infine, per dire un poco quanta utilità abbiano, basta ricordare che il caro Eulero, per calcolare l\'ormai famosa somma degli inversi dei quadrati, usò proprio i numeri di Bernoulli, riuscendo ad esprimere Z(2n)=Sum 1/i^(2n) tramite essi.
<BR>Questo è quanto...se vuoi, prova a guardare su www.mathworld.com lì ci sarà sicuramente di più.
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<BR>In origine li aveva introdotti un Bernoulli (Jakob, credo) in un trattato sulla probabilità e quindi la combinatoria (Ars conjectandi o giù di lì). Egli aveva notato che le formule particolari che davano questa o quella somma per un certo valore di k e di p, avevano certi coefficienti ricorrenti indipendenti appunto da k e p. Egli postulò che la formula generale fosse:
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<BR>s_k(p)=Sum( (Bi/i!)*(k!/(k+1-i)!)*p^(k+1-i) )
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<BR>s_k(p)=somma di 1^k + 2^k + ... + p^k Bi i-esimo numero di Bernoulli
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<BR>Questo però non dice come calcolarli...ebbene, proprio il fatto che essi compaiano anche nell\'espansione in serie di molte funzioni aiuta a calcolarli. Di solito si usa la funzione
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<BR>F(z)=z/(e^z - 1)=Sum Bi*z^k/k!
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<BR>Oppure, puoi anche usare la relazione ricorsiva che c\'è tra questi simpatici numeretti:
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<BR>Bn=(-1/(n+1)*SumC(p+1,i)*Bi C(n,k) coeff binom
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<BR>che può essere ottenuta facilmente dalla formula per s_k(p).
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<BR>Infine, per dire un poco quanta utilità abbiano, basta ricordare che il caro Eulero, per calcolare l\'ormai famosa somma degli inversi dei quadrati, usò proprio i numeri di Bernoulli, riuscendo ad esprimere Z(2n)=Sum 1/i^(2n) tramite essi.
<BR>Questo è quanto...se vuoi, prova a guardare su www.mathworld.com lì ci sarà sicuramente di più.