Limite cazzuto
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perchè a me viene 0? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>sen(2*Pi*e*n!)=(e<sup>2*Pi*e*n!*i</sup> - e<sup> -2*Pi*e*n!*i</sup>)/2i=[(-1)<sup>2*e*n!</sup> - (-1)<sup>2*e*n!</sup>]/2i=0
<BR>(e<sup>Pi*i</sup>=-1)
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<BR>quindi ogni termine è zero...
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<BR>sen(2*Pi*e*n!)=(e<sup>2*Pi*e*n!*i</sup> - e<sup> -2*Pi*e*n!*i</sup>)/2i=[(-1)<sup>2*e*n!</sup> - (-1)<sup>2*e*n!</sup>]/2i=0
<BR>(e<sup>Pi*i</sup>=-1)
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<BR>quindi ogni termine è zero...
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
n*0=0
<BR>
<BR>comunque qualcosa è sicuramente sbagliato nel mio ragionamento, altrimenti ad esempio anche sen(2/3*pi) sarebbe zero, il che invece non è<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 04-01-2004 19:37 ]
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<BR>comunque qualcosa è sicuramente sbagliato nel mio ragionamento, altrimenti ad esempio anche sen(2/3*pi) sarebbe zero, il che invece non è<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 04-01-2004 19:37 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
a me vien da dire che quel seno sicuramente non va a zero... o meglio, è sicuramente DIVERSO da zero, poi può anche tendere a zero.
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<BR>per il resto boh -.- non so da che parte cominciare
<BR>
<BR>per il resto boh -.- non so da che parte cominciare
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
E allora... eccoci a noi! Per ogni n€N, utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor-MacLaurin relativo al punto x<sub>0</sub> = 1 della funzione f(-): R --> R: x --> e<sup>x</sup>, troncato all\'ordine n-esimo con il resto in forma di Lagrange, si trova che:
<BR>
<BR>e = [sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> 1/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)!
<BR>
<BR>ove θ<sub>n</sub> --> 0 per n --> + inf. Ne seguita che, per ogni n€N:
<BR>
<BR>2Pi*e*n! = 2Pi * (n!) * {[sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> 1/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)!} =
<BR>
<BR>= 2Pi * {[sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> (n!)/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)}
<BR>
<BR>E poiché (n!)/(k!) è un intero, per qualsiasi k = 0, 1, ..., n, tanto è sufficiente per concludere che, comunque fissato un n€N:
<BR>
<BR>sin(2Pi*e*n!) = sin(2Pi * {[sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> (n!)/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)}) =
<BR>
<BR>= sin(2Pi * [(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)])
<BR>
<BR>ove (come già detto) θ<sub>n</sub> --> 0 per n --> + inf. Se ne conclude evidentemente che:
<BR>
<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> {n*sin(2Pi*e*n!) = lim<sub>n-->+inf</sub> n*sin(2Pi*[(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)])} =
<BR>
<BR>=lim<sub>n-->+inf</sub>{n*[(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]}=
<BR>
<BR>=2Pi*lim<sub>n-->+inf</sub>{e<sup>θ<sub>n</sub></sup>*[n/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]} ....(#)
<BR>
<BR>D\'altro canto, è pure evidente che:
<BR>
<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> [n/(n+1)] = 1;
<BR>
<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> {[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]} = 1
<BR>(basta ricordare che: x*sin(1/x) --> 1 per x --> inf)
<BR>
<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> e<sup>θ<sub>n</sub></sup> = e<sup>0</sup> = 1
<BR>(è stato precisato infatti che θ<sub>n</sub> --> 0 per n --> +inf)
<BR>
<BR>Dunque, applicando il teorema del prodotto (nell\'algebra dei limiti), come lecito per via delle condizioni espresse dalle relazioni appena indicate, a partire dalla (#), si deduce infine che:
<BR>
<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> {n*sin(2Pi*e*n!) = 2Pi*(lim<sub>n-->+inf</sub> e<sup>θ<sub>n</sub></sup>) * (lim<sub>n-->+inf</sub> [n/(n+1)]) *
<BR>
<BR>* (lim<sub>n-->+inf</sub> {[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]}) = 2Pi*1*1*1 = 2Pi
<BR>
<BR>Fine... ciaaaoooooooo...
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
<BR>
<BR>P.S.: in verità, sento di esser stato un tantino <!-- BBCode Start --><I>troppo conciso</I><!-- BBCode End --> nelle mie argomentazioni; per cui, qualora vi fossero degli aspetti poco chiari nella soluzione da me proposta, non esitate a chiedere... ché certamente vi sarà detto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-01-2004 19:25 ]
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<BR>e = [sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> 1/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)!
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<BR>ove θ<sub>n</sub> --> 0 per n --> + inf. Ne seguita che, per ogni n€N:
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<BR>2Pi*e*n! = 2Pi * (n!) * {[sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> 1/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)!} =
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<BR>= 2Pi * {[sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> (n!)/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)}
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<BR>E poiché (n!)/(k!) è un intero, per qualsiasi k = 0, 1, ..., n, tanto è sufficiente per concludere che, comunque fissato un n€N:
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<BR>sin(2Pi*e*n!) = sin(2Pi * {[sum<sub>k = 0, 1, ... n</sub> (n!)/(k!)] + (e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)}) =
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<BR>= sin(2Pi * [(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)])
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<BR>ove (come già detto) θ<sub>n</sub> --> 0 per n --> + inf. Se ne conclude evidentemente che:
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<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> {n*sin(2Pi*e*n!) = lim<sub>n-->+inf</sub> n*sin(2Pi*[(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)])} =
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<BR>=lim<sub>n-->+inf</sub>{n*[(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]}=
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<BR>=2Pi*lim<sub>n-->+inf</sub>{e<sup>θ<sub>n</sub></sup>*[n/(n+1)]*[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]} ....(#)
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<BR>D\'altro canto, è pure evidente che:
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<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> [n/(n+1)] = 1;
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<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> {[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]} = 1
<BR>(basta ricordare che: x*sin(1/x) --> 1 per x --> inf)
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<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> e<sup>θ<sub>n</sub></sup> = e<sup>0</sup> = 1
<BR>(è stato precisato infatti che θ<sub>n</sub> --> 0 per n --> +inf)
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<BR>Dunque, applicando il teorema del prodotto (nell\'algebra dei limiti), come lecito per via delle condizioni espresse dalle relazioni appena indicate, a partire dalla (#), si deduce infine che:
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<BR>lim<sub>n-->+inf</sub> {n*sin(2Pi*e*n!) = 2Pi*(lim<sub>n-->+inf</sub> e<sup>θ<sub>n</sub></sup>) * (lim<sub>n-->+inf</sub> [n/(n+1)]) *
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<BR>* (lim<sub>n-->+inf</sub> {[(n+1)/(2Pi*e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)]*sin[2Pi*(e<sup>θ<sub>n</sub></sup>)/(n+1)]}) = 2Pi*1*1*1 = 2Pi
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<BR>Fine... ciaaaoooooooo...
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<BR>Salvo Tr. alias euler_25
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<BR>P.S.: in verità, sento di esser stato un tantino <!-- BBCode Start --><I>troppo conciso</I><!-- BBCode End --> nelle mie argomentazioni; per cui, qualora vi fossero degli aspetti poco chiari nella soluzione da me proposta, non esitate a chiedere... ché certamente vi sarà detto! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-01-2004 19:25 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
Talpuz, è probabile che tu abbia tentato, inavvertitamente, di estendere le proprietà dell\'esponenziale reale al campo complesso.
<BR>Concorderai infatti che, in generale, per z, w € C:
<BR>
<BR>e^(z*w) != (e^z)^w.
<BR>
<BR>Per la dimostrazione... lascio a voi il piacere di ragionarci un po\' su.
<BR>Io intanto posso dirvi che utilizzando un software di calcolo appropriato... è facile constatare che per valori di w razionali, reali o complessi, purchè non interi, la proprietà adottata da Talpuz non risulta verificata e ciò basta a sconsigliarne l\'utilizzo.
<BR>Concorderai infatti che, in generale, per z, w € C:
<BR>
<BR>e^(z*w) != (e^z)^w.
<BR>
<BR>Per la dimostrazione... lascio a voi il piacere di ragionarci un po\' su.
<BR>Io intanto posso dirvi che utilizzando un software di calcolo appropriato... è facile constatare che per valori di w razionali, reali o complessi, purchè non interi, la proprietà adottata da Talpuz non risulta verificata e ciò basta a sconsigliarne l\'utilizzo.
<center>S’i’ fosse foco, arderei ’l mondo;
S’i’ fosse vento, lo tempestarei;
S’i’ fosse acqua, i’ l’annegherei;
[...]
S’i’ fosse Anteo, com’i’ sono e fui,
torrei le donne giovani e leggiadre:
le zoppe e vecchie lasserei altrui.
C.M.</center>
S’i’ fosse vento, lo tempestarei;
S’i’ fosse acqua, i’ l’annegherei;
[...]
S’i’ fosse Anteo, com’i’ sono e fui,
torrei le donne giovani e leggiadre:
le zoppe e vecchie lasserei altrui.
C.M.</center>
@anteo: grazie per la precisazione, l\'avevo intuito che era lì la falla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>@euler: non è possibile arrivarci senza sbudellamenti in serie (-jack202 copyright-) e resti di lagrange??
<BR>@euler: non è possibile arrivarci senza sbudellamenti in serie (-jack202 copyright-) e resti di lagrange??
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]