problemini assortiti

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

1) Find all positive integer solutions to 3m + 4n = 5k.
 
 2) Solve cos(cos(cos(cos x))) = sin(sin(sin(sin x))). (i russi sono pazzi!!)
 
 3) p(k) is a polynomial of degree n such that p(k) = (n+1-k)!k!/(n+1)! for k = 0, 1, ... , n. Find p(n+1).
 
 enjoy [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 11-01-2004 21:02 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Per il secondo non ci sono soluzioni vero?

dieciottantunesimi · Messaggio da **dieciottantunesimi** » 01 gen 1970, 01:33

Pebbacco, iè vero! la due non ha soluzioni:
 f(x) = sen(sen(sen(sen(x))) e g(x) = cos(cos(cos(cosx)))
 Dimostriamo che f(x) > g(x)
 Vabbè, l\'ho fatta, ma ora ho sonno e vado a letto. Se volete prendetela come un consiglio. Oppure ve la continuo domani.
 
 
 P. S. Ho dimostrato che f(x) < g(x) quando entrambi i lati della disequazione hanno lo stesso numero pari di operatori trigonometrici.

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

per il primo: facciamo le congruenze modulo 3 e modulo 4, quanto basta per ricavarci che m e k debbano essere pari.
 dopodiché, notiamo che abbiamo una terna pitagorica, le cui basi sono 3m/2, 2n, 5k/2.
 ma quindi abbiamo:
 2n = 2pq,
 3m/2 = p²-q²
 5k/2 = p²+q².
 ma dalla prima q=1, quindi p=2 (evidente), quindi l\'unica soluzione è
 (m,n,k) = (2,2,2).

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

provo il secondo così a caso, poi io sono ignorante, ma tentar non nuoce....
 
 cos(cos(cos(cos x))) = sen(sen(sen(sen x)))
 
 cos = c
 sen = s
 abbiamo svolgendo le operazioni
 c^4 x = s^4 x
 
 sapendo che: c^4 x = (c^2 x)*(c^2 x)
 abbiamo:
 (c^2 x)^2 = s^4 x
 
 sapendo che: c^2 x= 1 - s^2 x
 abbiamo:
 (1 -s^2 x)^2 = s^4 x
 
 svolgiamo le operazioni
 
 1 - 2*s^2 x + s^4 x = s^4 x ---> 1 - 2*s^2 x = 0 ---> 2*s^2 x = 1 ---> s^2 x = 1/2 ---> sen x = +- rad^2 (1/2)
 
 raga ora sò che mi ucciderete, ma io c\'ho provato anche se molto probabilmente ho scritto un\'enorme cazzata.[addsig]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Germania!
 
 Mi dispiace ma:
 cos(cos(cos(cos x))) = sen(sen(sen(sen x)))
 
 cos = c
 sen = s
 abbiamo svolgendo le operazioni
 c^4 x = s^4 x
 
 non ha alcun senso!
 Non sono moltiplicazioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

germania2002 · Messaggio da **germania2002** » 01 gen 1970, 01:33

ah quindi cos(cos x) non intende cos*(cos x).....allora sorry, scusatemi.[addsig]

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-12 19:33, germania2002 wrote:
 ah quindi cos(cos x) non intende cos*(cos x).....allora sorry, scusatemi</BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 f(x)=cos* g(x)=cos(x) cos*(cos*(cos*(cos x)))=f³(g(x))

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

(n+1-k)!k!/(n+1)! = (k su n+1)-1 ? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-01-2004 21:41 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-12 21:40, Simo_the_wolf wrote:
 (n+1-k)!k!/(n+1)! = (k su n+1)-1 ?
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-01-2004 21:41 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 D\'oh! nn ci so fare cn l\'html...
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-01-2004 21:42 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 12-01-2004 21:44 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-12 21:40, Simo_the_wolf wrote:
 (n+1-k)!k!/(n+1)! = (k su n+1)-1 ?
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 semmai (n+1 k)-1
 
 bien, ispirandomi a un vecchio post con un problema simile a questo, mi verrebbe la tentazione di porre
 
 Q(x)=(n+1 k)P(x)-1 e ruffinizzare
 
 però ci sono un po\' di problemi, principalmente sul grado di Q(x)
 
 beh, guardateci...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

...and so?
 
 aggiungo questi, intanto
 
 1) dimostrare che se a,b,c, sono reali positivi tali che
 
 2(a8+b8+c8)=(a4+b4+c4)2
 
 allora il triangolo con lati a,b,c è rettangolo
 
 2)dimostrare che se a è un intero dispari e x, y sono le radici di
 
 t2+at-1
 
 allora
 
 x4+y4 e
 x5+y5
 
 sono interi primi tra di loro
 
 ah, 10/81, sto ancora aspettando la soluzione del secondo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 13-01-2004 22:21 ]

dieciottantunesimi · Messaggio da **dieciottantunesimi** » 01 gen 1970, 01:33

Probl. 2:
 f(x) = sen(sen(sen(senx < cos(cos(cos(cosx = g(x)
 Si dimostra facilmente il lemma PINCO:
 | sena + cosa| <= sqrt 2
 Si dimostra ancor più semplicemente il lemma PALLINO:
 se a, b appartengono a [0, Pi/2], allora senb < cosa equivale ad a + b < Pi/2.
 
 Ora, per x in [0, Pi/2] abbiamo:
 per il lemma PINCO: 0 <= senx + cosx <= sqrt 2 < Pi/2
 per il lemma PALLINO: ponendo b=senx e a=cosx,
 0 < sen(sen(senx < sen(cos(cosx < 1
 Da qui, usando il lemma PINCO e ponendo a = cos(cosx,
 sen(sen(senx + cos(cos(cosx < sen(cos(cosx + cos(cos(cosx < sqrt 2 < Pi/2
 Per il lemma PALLINO, ponendo b= sen(sen(senx e a= cos(cos(cosx,
 sen(sen(sen(senx < cos(cos(cos(cosx.
 E il più è fatto.
 A sto punto si noti che cos(cos(Pi-x)) = cos(-cosx) = cosx e che
 sen(Pi-x) = senx. Per tanto, f(x) = f(Pi-x) e g(x) = g(Pi-x).
 Così per x in [Pi/2, Pi] abbiamo che Pi-x appartiene a [0, Pi/2] e quindi:
 f(x)<g(x); per x in [-Pi, 0] si vede che f(x)<= 0 < g(x).
 Infine, entrambe le funzioni sono periodiche di periodo 2Pi; siccome f(x)
 < g(x) in [-Pi, Pi] si dimostra che f(x) < g(x) per ogni x reale.
 
 Ne sei sicuro? Boh!?
 
 
 <img src=\"http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/YaBBIm ... in_box.gif\">
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: dieciottantunesimi il 13-01-2004 22:52 ]
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: dieciottantunesimi il 13-01-2004 22:55 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: dieciottantunesimi il 13-01-2004 22:55 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, mi sembra che funzioni..
 hai guardato il 3?

dieciottantunesimi · Messaggio da **dieciottantunesimi** » 01 gen 1970, 01:33

Ora voglio finire di leggere \"L\'anno della morte di Ricardo Reiz\" di J. Saramago. Magari domani, e poi c\'è sempre il mio alter ego che non si è mica fermato ...
 Sognidoro à tout le monde![addsig]