un po\' di numeri...

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

3 esercizi per sollazzarvi
 
 a) trovate le soluzioni in N di a²+a=2b² (numeri quadrati e triangolari)
 
 b) soluzioni in N di x²+y²=2z² (terne pseudopitagoriche)
 
 c) dimostrate che i due problemi sono equivalenti, dopo le opportune considerazioni
 
 (corretto) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 26-01-2004 21:22 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

la prima mi pare palesemente impossibile poikè il primo membro sta tra a2 e (a+1)2 e quindi non può essere un quadrato (forse il 2° membro è 2b2 visto ke parli di numeri triangolari...) mentre sulla seconda devo rifletterci ancora 1 pò... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 26-01-2004 20:35 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

forse kaio voleva scrivere
 
 a²+a=2b²
 
 (num triangolare=a(a+1)/2 per qualche a naturale) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 26-01-2004 20:38 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

si, ha ragione talpuz, il fatto è che kaio non sopporta i 2...(eh kaio?) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

bene, allora aggiungo che
 
 a²+a=2b² ==> (2a+1)2-8m2=1, e questo è Pell

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa la mia ignoranza ma ki è questo Pell?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

una persona simpatica che ha dato il nome (per sbaglio di non mi ricordo chi, oltretutto) all\'equazione diofantea
 
 x2-Ny2=1
 
 che si risolve facilmente espandendo rad(N) in frazione continua e considerando l\'ultimo convergente del periodo

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 che si risolve facilmente espandendo rad(N) in frazione continua e considerando l\'ultimo convergente del periodo
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Cosa cosa cosa?

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Ho risolto il 2°:
 posto x>y chiamiamo (x+y)/2=a ed (x-y)/2=b allora la nostra equazione diviene:
 
 (a+b)2+(a-b)2=2z2
 a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2z2
 2(a2+b2)=2z2
 a2+b2=z2
 
 quindi data una terna pitagorica (a,b,c) con b>a tutte le terne che risolveranno la nostra equazione sarranno (a-b,a+b,c). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 28-01-2004 17:49 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

per la teoria delle frazioni continue vedi \"aritmetica superiore\" di h. davenport
 
 per la cronaca, comunque, la soluzione base di
 
 (2a+1)2-2(2b)2=1
 
 è 2a+1=3, 2b=2 che porta al numero 1
 
 le altre si trovano scrivendo
 
 (2a+1)+2b*sqrt(2)=(3+2*sqrt(2))n
 
 e penso che con un po\' di induzione si possa trovare una formula chiusa