DIsuguaglianze

[Pascat]

Dato un tetraedro con spigoli alla base di lunghezza \"a\" \"b\" \"c\" e i tre spigoli rimanenti \"x\",\"y\" \"z\" dimostrare che
<BR>
<BR>x+y+z<=a+b+c+3d
<BR>
<BR>Dove \"d\" indica la distanza tra il vertice opposto alla base e il baricentro della base stessa
<BR>
<BR>

[karl]

Per fissare le idee indichiamo,per cosi\' dire,con \" x\" lo spigolo opposto ad \"a\"
<BR>ed analogamente per le coppie (b,y) e (c,z).
<BR>Siano ora V,G,A rispettivamente:il vertice del tetraedro,il baricentro della
<BR>base ed A il vertice della base opposto al lato \"a\".
<BR>Dal triangolo VGA si ottiene:
<BR>
<BR> x< d+ 2*ma /3
<BR>
<BR> (ma=mediana relativa al lato \"a\")
<BR>
<BR>Analogamente:
<BR>
<BR> y< d + 2*mb/3
<BR>
<BR> z< d + 2*mc/3
<BR>
<BR>Sommando
<BR>x+y+z<3*d+2*(ma+mb+mc)/3
<BR>Ora e\' noto che in un triangolo ma+mb+mc<2*p<3*p (p=semiperimetro di ABC)
<BR>Dunque:
<BR>x+y+z<3*d+2*(3p)/3---->x+y+z<3*d+2*p.
<BR>q.e.d.
<BR>Forse sbaglio ma il segno di eguaglianza non sembra doverci essere.
<BR>saluti.
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