Esercizietti...freschi (forse)

[karl]

1)Dimostrare che l\'area di un triangolo e\' uguale al prodotto
<BR>del raggio del circocerchio per il semiperimetro del triangolo ortico
<BR>
<BR>2)Sia Pn=(2^3-1)/(2^3+1)*(3^3-1)/(3^3+1)*....*(n^3-1)/(n^3+1)
<BR>Calcolare :
<BR>limPn
<BR>n-->+inf
<BR>
<BR>3)Calcolare la somma (finita) data da:
<BR>Sn=(1^3)*(x^0)+(2^3)*(x^1)+(3^3)*(x^2)+.......+(n^3)*(x^(n-1)).
<BR>
<BR>(Se non nuovi ,vogliate scusarmi)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 02-02-2004 12:08 ]

[talpuz]

3)
<BR>
<BR>sum[k=0->n]x^k=(xⁿ⁺¹-1)/(x-1)
<BR>
<BR>derivando ambo i membri tre volte (con i dovuti accorgimenti) dovrebbe venir fuori il tutto

[karl]

Ho provato piu\' volte a derivare tre volte l\'identita\' ma senza
<BR>trovarmi (anche riferendomi a qualche caso particolare).
<BR>Forse non riesco a centrare gli accorgimenti di cui parli.
<BR>ciao.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 02-02-2004 13:05 ]

[EvaristeG]

ABC triangolo, HJK ortico di ABC, con H su BC, J su AC, K su AB.
<BR>
<BR>HJ=AB*cosC
<BR>JK=BC*cosA
<BR>HK=AC*cosB
<BR>
<BR>Quindi s=(HJ+JK+HK)/2.
<BR>Del resto A_hjk=(HJ*JK*sinJ)/2=(JK*KH*sinK)/2=(KH*HJ*sinH)/2
<BR>H=180-2A
<BR>J=180-2B
<BR>K=180-2C
<BR>Inoltre, sappiamo che
<BR>R_hjk=(HJ*JK*KH)/4S_hjk=(JK/2sinH)=BC*cosA/(4sinAcosA)=BC/4sinA=R_abc/2
<BR>infine
<BR>R_abc*s=2R_hjk*s=(BC*AB*cosC/sinA + BC*CA*cosB/sinA+BC*BC*cosA/sinA)=
<BR>=(AB^2 * ctgC + AC^2 * ctgB + BC^2 * ctgA)=
<BR>=(1/4A_abc)*(AB^2*BC^2+AB^2*CA^2-AB^4+AC^2*AB^2+AC^2*CB^2-AC^4+
<BR>+BC^2*AB^2+BC^2*AC^2-BC^4)=(4A_abc^2/4A_abc)=A_abc.
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[J4Ck202]

Mi permetto una leggera semplificazione..
<BR>Chiamo O il circocentro di ABC e P,Q,R i punti medi di AB,BC,AC.
<BR>^POB=^C per il teorema sull\'angolo al centro, dunque
<BR>
<BR>2 S(ABC) = AB OP + BC OQ + AC OR =
<BR> AB R cos(C) + BC R cos(A) + AC R cos(B) =
<BR> R (JH + HK + KJ)
<BR>
<BR>Come volevasi dimostrare.
<BR>
<BR>

[karl]

Molto bello, una vera delizia!
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

[J4Ck202]

3)
<BR>
<BR>E\' praticamente come dice Talpuz, solo che è meglio ripetere
<BR>per tre volte (moltiplicazione per x seguita da derivazione) onde
<BR>evitare antipatici shift di indici.
<BR>
<BR>

[J4Ck202]

2) Questo è molto simpatico..
<BR>Dapprima sfruttiamo il fatto che
<BR>(x^3 +- 1) = (x +- 1) (x^2 -+ x + 1)
<BR>Per effettuare la prima tornata di semplificazioni, dopodichè abbiamo
<BR>(j^2 + j + 1) = (j+1)^2 - (j+1) + 1
<BR>che ci permette di effettuare anche la seconda tornata.
<BR>A questo punto lim[n->+inf] P[n] = 2/3.
<BR>
<BR>

[EvaristeG]

Hmm...a proposito dell\'ortico...è vero solo se ABC è acutangolo...

[karl]

Se l\'osservazione di EvaristeG sull\'ortico si riferisce alla
<BR>dimostrazione fatta, non so.Se invece si riferisce al quesito
<BR>proposto e\' ovvio che esso non vale per un triangolo rettangolo
<BR>(il triangolo ortico si riduce al vertice dell\'angolo retto) mentre
<BR>per un triangolo ottusangolo ho qualche dubbio sulla validita\'
<BR>della predetta osservazione (in effetti ho verificato il calcolo
<BR>in piu\' casi ,tutti positivi per la formula:non e\' una prova assoluta
<BR>ma almeno qualche volta sarebbe dovuto fallire).
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[EvaristeG]

<B>EvaristeG
<BR>
<BR>Registrato dal:
<BR>23-02-2003
<BR>
<BR>Da: pisa
<BR>
<BR><U>Messaggi : 300</U>
<BR>
<BR>ON-Line </B>
<BR>
<BR>Scusate il completo off topic e la totale inutilità del messaggio, ma il precedente era il mio trecentesimo messaggio...non che sia importante, ma la cifra è quanto mai tonda... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 08-02-2004 02:11 ]