Calcolare le seguenti somme:
<BR>
<BR>1)sum[k=1..n]arctan(2k/(2+k^2+k^4)).
<BR>
<BR>2)sum[k=1..n]arctan(r/(1+a(k)*a(k+1)))
<BR>dove a(1),a(2),.... formano una progressione
<BR>aritmetica di primo termine a(1)>0 e ragione r>0.
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Un po\' di somme.
Moderatore: tutor
1) sia (1-k+k²) = tg(a<sub>k</sub>). 1+k+k² = 1-(k+1)+(k+1)² = tg(a<sub>k+1</sub>)
<BR>
<BR>2k/(2+k<sup>2</sup>+k<sup>4</sup>) = [(1+k+k²) - (1-k+k²)]/[1+(1+k+k²)(1-k+k²) =
<BR>= [tg(a<sub>k+1</sub>) - tg(a<sub>k</sub>)]/(1+tg(a<sub>k+1</sub>)tg(a<sub>k</sub>) = tg(a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub>).
<BR>
<BR>sum[k=1..n] arctg(2k/(2+k<sup>2</sup>+k<sup>4</sup>)) = sum[k=1..n] a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub> = a<sub>n+1</sub> - a<sub>1</sub> =
<BR>= arctg(1+n+n²) - arctg(1) = arctg(1+n+n²) - pi/4.
<BR>
<BR>2) sia a<sub>1</sub> = a>0.
<BR>r = a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub>.
<BR>per quanto detto sopra (in maniera del tutto analoga, solo più semplice)
<BR>sum[k=1..n] arctg(r/(1+a<sub>k</sub>a<sub>k+1</sub>)) =
<BR>arctg(a<sub>n+1</sub>) - arctg(a).
<BR>
<BR>[ps. perché non fare i campanilisti ed usare tg e arctg invece di tan e arctan??]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 25-02-2004 13:04 ]
<BR>
<BR>2k/(2+k<sup>2</sup>+k<sup>4</sup>) = [(1+k+k²) - (1-k+k²)]/[1+(1+k+k²)(1-k+k²) =
<BR>= [tg(a<sub>k+1</sub>) - tg(a<sub>k</sub>)]/(1+tg(a<sub>k+1</sub>)tg(a<sub>k</sub>) = tg(a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub>).
<BR>
<BR>sum[k=1..n] arctg(2k/(2+k<sup>2</sup>+k<sup>4</sup>)) = sum[k=1..n] a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub> = a<sub>n+1</sub> - a<sub>1</sub> =
<BR>= arctg(1+n+n²) - arctg(1) = arctg(1+n+n²) - pi/4.
<BR>
<BR>2) sia a<sub>1</sub> = a>0.
<BR>r = a<sub>k+1</sub> - a<sub>k</sub>.
<BR>per quanto detto sopra (in maniera del tutto analoga, solo più semplice)
<BR>sum[k=1..n] arctg(r/(1+a<sub>k</sub>a<sub>k+1</sub>)) =
<BR>arctg(a<sub>n+1</sub>) - arctg(a).
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<BR>[ps. perché non fare i campanilisti ed usare tg e arctg invece di tan e arctan??]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 25-02-2004 13:04 ]