Tornano sempre tutti

[sergio_vanni]

Si dimostri che N^x e N^(x+4) sono numeri interi che hanno la medesima cifra terminale, qualunque sia il valore assegnato ad N e ad x purché sia N >= 1 e x >= 1 (N ed x numeri interi).
<BR>
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: sergio_vanni on 2001-06-15 17:41 ]</font>

[lordgauss]

Chiedo scusa a tutti se modifico il messaggio, ma mi sono accorto che nella dimostrazione (e più che nella dimostrazione, nelle premesse)data ieri notte era presente un baco.
<BR>Spero che ora sia tutto corretto.
<BR>Chiamiamo U(N) la funzione che associa ad N la sua ultima cifra. Nostro scopo è dimostrare che U(N^x)=U(N^(x+4)).
<BR>Valgono le seguenti proprietà:
<BR>
<BR>A) U(a*b) = U(U(a)*U(b)). In altre parole, l\'ultima cifra di un prodotto dipende dalle ultime cifre dei fattori.
<BR>Dimostriamolo con il classico procedimento di moltiplicazione.
<BR>Se a=ABC...P1 e b=DEF..,P2
<BR>a*b=
<BR>ABC...P1 x
<BR> DEF...P2 =
<BR> ________
<BR> ........P3 (posta P3 ultima cifra di P1*P2)
<BR> altre -
<BR> ________
<BR> altre P3
<BR>Ne deriva immediatamente che U(N^x)=
<BR>= U(U(N)^x)
<BR>----
<BR>non so che farci, me lo incolonna male....
<BR>per vedere meglio occorre adottare la risoluzione 1024*768, e anche così non è che sia il massimo.....
<BR>----
<BR>
<BR>B)U(N)=U(N^5). Basta applicare la A) e svolgere i calcoli per tutte le dieci cifre. Es: se N=213, U(N)=3, U(N^5)=U(U(N)^5)=U(243)=3.
<BR>
<BR>Abbiamo ora spianato la strada verso la dimostrazione della tesi.
<BR> DIMOSTRAZIONE
<BR> U(N^x)=
<BR>=U(U(N^(x-1))*U(N))= per la A)
<BR>=U(U(N^(x-1))*U(N^5))= per la B)
<BR>=U(N^(x+4)) per la A)
<BR>
<BR>Ciao a tutti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ,
<BR>
<BR>lordgauss
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-16 15:10 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-16 15:18 ]</font>

[Lucio]

Provando a moltiplicare x sé le 10 cifre si vede che hanno, come ultima cifra, un periodo di 1, 2 o 4 cifre, da cui la tesi. X\' tanto lunga?

[lordgauss]

Beh, l\'idea è esattamente la stessa, solo che mi è sembrato utile proporre una dimostrazione (spero) completa e abbastanza formale. Inoltre è una buona occasione di esercizio sulle equazioni funzionali.
<BR>A questo punto approfitto dello spazio per proporre un nuovo problema: stabilire un criterio di divisibilità per n in un sistema di numerazione in base n+1.
<BR>18/6: Per il quesito è stato creato un post apposito, seguendo la norma di non sviare le discussioni.
<BR>ciao,
<BR>lordgauss<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-18 10:02 ]</font>