Numero di numeri primi approssimato

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

E\' noto che il numeri primi tra 0 ed n tendono ad essere n/ln(n), questo rapporto è valido per n tendente all\'infinito.
 Mi chiedevo se esistesse un modo di trovare l\'errore assoluto di questa funzione per un qualsiasi numero n.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, anche qui bisogna capire quello che intendi...
 
 E\' chiaro che è possibile, dato un n, trovare l\'errore assoluto: basta contare tutti i primi fino a n e sottrarli a n/ln(n).
 
 Se vuoi una formula esplicita che descriva in qualche modo la funzione dell\'errore assoluto per ogni n, considera che se la sapessi, allora sapresti anche la formula esatta per la somma dei primi tra 0 e n. E viceversa.
 
 E qui sorge il problema di capire che cosa intendiamo per formula esplicita... insomma, penso sia facile dimostrare che non esiste un\'espressione finita di quella funzione che usi soltanto segni di +, -, x, /, potenze, ed ovviamente la variabile n.
 
 Poi, boh, è tutta una questione di che funzioni vuoi usare per descriverla. Tipo, la funzione sin(x) soffre dello stesso problema della funzione dei numeri primi, ovvero non è scrivibile come la composizione finita di funzioni elementari. Allora le si dà un nome, si dice \"questa qui è la funzione sin(x)\", e ci si mette il cuore in pace. E\' chiaro che, una volta fatto ciò, sia interessante trovare relazioni tra la nuova formula e quelle già note, scrivendo ad esempio lo sviluppo in serie di Taylor di sin(x), o dicendo sin2(x)+sin2(pi/2-x)=1.
 
 Occorre però tener presente che l\'aver scritto \"sin(x)\" ed aver usato questa cosa in formule, teoremi, etc non vuol dire aver catturato l\'essenza della funzione... Insomma, potremmo dire che la funzione dei numeri primi si chiama \"pi(x)\", ma questo non ci direbbe nulla in più su di essa!
 
 <IMG SRC="http://images.google.it/images?q=tbn:3g ... onspir.jpg"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 29-02-2004 00:27 ]

mario86x · Messaggio da **mario86x** » 01 gen 1970, 01:33

a quanto ne so io, quel \"tendere asintoticamente\" non significa che quest\'errore assoluto diminuisca al crescere di n. In effetti, si verifica il contrario <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

mmm, speravo che esistesse almeno un modo di trovare due valori x1 ed x2 tali che il numero P di numeri primi fra 0 ed n fosse x1 2 ed ovviamente x1 < n/ln(n) < x2.
 Ma vedendo che non è possibile fare ciò, non mi resta che rassegnarmi.
 Grazie comunque.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-02-29 12:13, bh3u4m wrote:
 mmm, speravo che esistesse almeno un modo di trovare due valori x1 ed x2 tali che il numero P di numeri primi fra 0 ed n fosse x1 2 [...]
 Ma vedendo che non è possibile fare ciò, non mi resta che rassegnarmi.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Mi sa tanto che non hai colto il senso delle parole di Antimateria! E vabbé, non è mica colpa tua se Mind non riesce a spiegarsi sì come vorrebbe!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 E allora... di diseguaglianze più o meno stringenti utilizzate per \"contenere\" l\'errore assoluto commesso approssimando la funzione:
 
 <center>π(-): R+ --> N: x --> card{p€N: p è primo et p ≤ x}</center>
 
 [vedi la NOTA in calce] con la più semplice funzione:
 
 <center>f(-): R+ --> R: x --> ln(x)/x</center>
 
 Una fra queste, in exemplum, stabilisce che, per ogni x reale > 1:
 
 <center>ln(x)/[2*ln(2)] ≤ π(x) ≤ 2x/ln(x)</center>
 
 La disuguaglianza di sinistra, in particolare, si dimostra con poche difficoltà. Tutt\'altro discorso la disuguaglianza di destra! Beh... con questo penso proprio di potermi arrestare qui... almeno per il momento!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 NOTA: giusto nel caso in cui non fosse chiaro a qualcuno, la funzione π(-) qui definita non fa altro che \"contare\" il numero dei primi naturali contenuti in ogni intervallo reale della forma ]0, x], con x€R+. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 29-02-2004 17:10 ]