Successioni...

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Sia una successione di numeri an€R tale che
 
 akaj=ak+j+ak-j per ogni k,j€N k≥j
 ak=ak+12
 
 Tovare a0, a1, a2...a11 sapendo che a0 › a1 › a2 › 0 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 26-02-2004 14:17 ]

bh3u4m · Messaggio da **bh3u4m** » 01 gen 1970, 01:33

C\'è qualcosa che non quadra:
 
 ak=ak+12
 0=12

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

Si tratta di determinare i primi termini di una successione reale {an} tale che:
 iii) akaj=ak+j+ak-j p.o. k, j€N t.c. k ≥ j;
 iiii) ak=ak+12, p.o. k€N
 iiiii) a0 › a1 › a2 › 0
 Ponendo j = k nella i), si trova innanzitutto che:
 iiiv) ak2 = a2k + a0, p.o. k€N
 Di qui, per la iii), fissato k = 0, si deduce dover essere a0 = 2. Del resto, assumendo k = 2, j = 1 e k = j = 1 in corrispondenza della i), risulta che:
 iiv) a2a1 = a3 + a1
 iivi) a12 = a2 + 2 ==> a2 = a12 - 2
 donde, eliminando a2 fra le equazioni così indicate:
 iivii) a13 - 3a1 - a3 = 0
 Ora, fissando k = 6 nella i) e considerando la condizione espressa dalla ii):
 iia62 = a12 + a0 = 2a0 = 4 ==> a6 = ±2
 e in modo perfettamente analogo, con k = 3:
 iia32 = a6 + 2 = 2 ± 2 ==> a3 = 0 se a6 = -2 vel a3 = ± 2 se a6 = 2
 
 1° caso: a3 = 0. Allora, dalla vii):
 iia13 - 3a1 = 0 ==> a1 = 0 vel a1 = ±sqrt(3)
 donde l\'unica soluzione accettabile a1 = sqrt(3) < 2 = a0, secondo i vincoli imposti dalla relazione iii); cui corrisponde, per parte della vi): a2 = 1 < a2, così come correttamente vuolsi che sia per consistenza alla iii).
 
 2° caso: a3 = -2. Come prima, dalla vii), ruffinizzando:
 iia13 - 3a1 + 2 = 0 ==> (a1 + 2)(a1 - 1)2 = 0
 e quindi a1 = -2 (valore non accettabile) vel a1 = 1. Corrispondentemente, per la vi): a2 = -1 < 0, sicché questa seconda occorrenza non introduce soluzioni.
 
 3° caso: a3 = 2. Dalla vii), di nuovo per il th. di Ruffini:
 iia13 - 3a1 - 2 = 0 ==> (a1 - 2)(a1 + 1)2 = 0
 e quindi a1 = 2 = a0 vel a1 = -1, sicché questo terzo ed ultimo caso non genera anch\'esso alcuna soluzione compatibile con la iii).
 
 Dunque, riassumendo tutto quanto sinora stabilito, si conclude che dev\'essere:
 a0 = 2, a1 = sqrt(3), a2 = 1 ed a6 = -2
 
 Di qui, completare la sequenza dei primi n = 12 termini della successione incognita {an} non parrebbe esser difficile! Ciò detto... notte, ché tardi! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 27-02-2004 04:07 ]

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

e se invece ak=ak+16 (rimanendo invariate le altre)? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 03-03-2004 23:12 ]