Congettura - algebra

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

E\' vero che se l\'equazione a[n]*x^n+a[n-1]*x^(n-1)+...+a[1]*x+a[0]=0 (con a[n] e a[0] diversi da 0) ha radici x[1],x[2],...,x[n], allora l\'equazione a[0]*x^n+a[1]*x^(n-1)+...+a[n-1]*x+a[n]=0 ha radici
 1/x[1],1/x[2],...,1/x[n]? E sarebbe una congettura o è già stata dimostrata da altri? Per l\'equazione di primo e secondo grado la congettura è vera, e dovrei aver fatto un abbozzo di dimostrazione, ma non sono sicuro della sua correttezza, casomai più avanti la posterò.
 
 Ogni volta che la gente è d’accordo con me provo la sensazione di avere torto - Oscar Wilde
 
 
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lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Uhm... così a prima vista pare giusto. Comunque basta verificare con le formule di Viète.

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, ti prego, non provare la sensazione di aver torto

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

No, non penso di avere torto (non ti considero proprio \"gente\", che nel mio modo di vedere ha un senso piuttosto dispregiativo...), ma mi sento alquanto ignorante: cosa sono le formule di Viète?? <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Bene bene... qua si può creare davvero un bel topic.
 Beh, le formule di Viète sono le relazioni radici-coefficienti, valide per ogni polinomio.
 
 Consideriamo un polinomio monico (cioè con a[n]=1) P(x)= x^n+...+a[0] (a)
 e siano x[1]...x[n] le sue radici reali o complesse.
 Allora si ha che P(x)=(x-x[1])*...*(x-x[n]) (b).
 
 
 Dal confronto tra (a) e (b) si evince che
 
 a[n-1]=x[1]+...+x[n]
 
 a[n-2]=somma estesa a tutte le coppie i,j (i < j) di x*x[j] ovvero a[1]=x[1]*x[2]+x[1]*[3]+...+x[n-1]*x[n]
 
 ...
 ...
 a[0]=x[1]*...*x[n]
 
 (AVVERTENZA: ogni relazione è presa a meno del segno... non ci ho messo l\'abs o il (-1)^k per evitare un\'eccessiva pesantezza)
 
 Ovviamente il discorso funziona pure per i polinomi non-monici, basta dividere per a[n].
 
 Bene bene... sulla base di queste relazioni è piuttosto semplice dimostrare la Ma_go\'s conjecture [ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-07-09 19:37 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

Mi sembra solo strano che nessuno se ne sia mai accorto/ci abbia mai pensato... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon24.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Continuiamo allora questo nostro dialogo.
 2 considerazioni in risposta:
 
 a) Questo fatto è poco più che una curiosità, perciò non ci si stupisce che non sia noto a tutti (non voglio sminuire, complimenti in ogni caso <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> )
 
 b) E\' comunque molto probabile che qualcuno ci abbia già pensato; anzi sono abbastanza sicuro che in qualche remota dispensa olimpica al capitolo \"polinomi\" ci sia quest\'esercizio.

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Comunque non è ancora DIMOSTRATO, non lasciarlo lì così, incerto del proprio valore.

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

Si, in effetti la sua utilità è pressoché nulla... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif"> i complimenti per una robetta del genere sarebbero un po\' sprecati...
 Ah, comunque ho trovato anche qualcosina sulla parabola... Che non serve altro che a semplificare già semplici esercizi di livello scolastico (cioè inferiore)...Lo posterò magari, ma sarebbe un semplice esercizietto di calcolo, il difficile è solo trovarlo...

BlaisorBlade · Messaggio da **BlaisorBlade** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, ho in prestito un libro di analisi, che però non capisco perché parla anche di algebra. Parla appunto di questa trasformazione, la trasformazione reciproca, e studia come trasformare un equazione per aggiungere una costante alle radici, moltiplicarle per una costante, invertirle(questa appunto) e soprattutto arriva alle trasformazioni di Tschirnaus(avete presente quando si pone x=y+qualcosa per eliminare un termine nell\'equazione di terzo grado? queste eliminano fino a 3 termini). Per la dimostrazione, porrei x=1/y, e otterrei la equazione con i coefficienti in ordine contrario moltiplicando, e le radici sarebbero le inverse. Non mi sembra così complicato. Ah, mi spiegate che ci fa l\'algebra in un libro di analisi(parla anche del metodo di Cramer su sistemi a n equazioni in m incognite)?

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2002-07-11 21:19, BlaisorBlade wrote:
 Ah, mi spiegate che ci fa l\'algebra in un libro di analisi(parla anche del metodo di Cramer su sistemi a n equazioni in m incognite)?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Forse non hai mai visto il Giaquinta... a momenti ci metteva dentro anche l\'oroscopo e i numeri del lotto!!!

Lucio · Messaggio da **Lucio** » 01 gen 1970, 01:33

BlaisorBlade · Messaggio da **BlaisorBlade** » 01 gen 1970, 01:33

Ma comunque poi esiste Algebra per queste cose... le fate in Algebra o in Analisi? Ve le chiedono per due materie diverse? Il Giacquinta non l\'ho visto, forse perché è d\'università mentre io sono al Liceo(questo è il Sansone - Conti, ha qualche annetto, c\'ha studiato la mia prof.!)