espansioni e coefficienti

[talpuz]

trovare il numero di coefficienti dispari nell\'espansione polinomiale di
<BR>
<BR>i) (x+1)ⁿ
<BR>
<BR>ii) (x²+x+1)ⁿ
<BR>
<BR>il primo è quite easy, una volta che viene l\'idea
<BR>
<BR>il secondo è tutto vostro <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 18-03-2004 19:11 ]

[damnit]

Ci provo con il primo:
<BR>
<BR>se scriviamo n=2^p+k, con 0<=k<2^p (scrittura unica), allora il numero di coefficienti dispari e\' dato da k+2.
<BR>
<BR>La dimostrazione e\' induttiva e risulta piu\' facile se applicata al triangolo di tartaglia la cui riga n-esima da\' in effetti i coefficienti dello sviluppo del binomio. In soldoni se n e\' una potenza di 2 allora i coefficienti sono tutti pari eccetto il primo e l\'ultimo. A mano a mano che n si discosta da 2^p il numero dei coeff. pari decresce linearmente.
<BR>
<BR>ciao,
<BR>Daniele.

[karl]

Per n=11 si ha n=2^3+3.Pertanto k=3 e dunque
<BR>il numero dei coefficienti dispari dovrebbe essere
<BR>k+2=3+2=5.In realta\' dal triangolo di Tartaglia
<BR>(o con un calcolo diretto) si vede che tale
<BR>numero e\' 8.
<BR>Forse sono io che interpreto male la tua
<BR>soluzione.
<BR>

[talpuz]

in effetti non è esatto, ma ci sei vicino, damnit <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>l\'idea delle potenze di 2 è buona, ma perchè mettere in evidenza soltanto la + grande?

[karl]

Utilizzando le indicazioni precedenti ,sarei giunto a questa conclusione:
<BR>Sia M il numero dei coeff. dispari ,risulta che:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B> M=2^k
<BR>essendo k il numero degli addendi che figurano nella scomposizione
<BR>di n nella somma di potenze del 2 </B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Faccio qualche esempio:
<BR>0)n=7
<BR>n=2^2+2^1+2^0,k=3--->M=2^3=8
<BR>
<BR>1)n=9
<BR>n=2^3+2^0,k=2---->M=2^2=4
<BR>
<BR>2)n=11
<BR>n=2^3+2^1+2^0,k=3---->M=2^3=8
<BR>
<BR>3)n=16
<BR>n=2^4,k=1----->M=2^1=2
<BR>
<BR>In maniera piu\' \"scientifica\" si potrebbe dire che k corrisponde
<BR>al numero delle cifre \"1\" che compaiono nella rappresentazione
<BR>binaria del numero n.
<BR>Le mie considerazioni sono di natura puramente euristica .
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-03-2004 09:47 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-03-2004 10:49 ]

[talpuz]

giusto. dimostrazione?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[karl]

Ho fatto quello che potevo:vediamo se alla dimostrazione
<BR>ci arriva qualcuno dei cervelloni che circolano su questo
<BR>forum (te escluso, visto che gia\' la conosci).
<BR>