Problemi straniei

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

se p=23
 
 sigma(22)/22 < sigma(12)/12...quindi direi di no <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 06-04-2004 23:08 ]

Boll · Messaggio da **Boll** » 01 gen 1970, 01:33

Allora navigo proprio in alto mare. La prossima volta ci penserò meglio. Il problma è comunque fuori dalla mia portata.

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

5. dimostrare che esistono infiniti n naturali tali che sigma(n)/n > sigma(k)/k per ogni k naturale minore di n, essendo sigma(n) la funzione che associa ad n la somma di tutti i suoi divisori (1 ed n compresi).
 
 
 empiricamente si vede che gli n_i sono della forma a*n! con a minore di n, la dimostrazione per assurdo è facile da prodursi una volta dimostrato che non ne esistono di altre forme
 
 (editato per colpa del solito minore che interferisce con l\'html)
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 07-04-2004 15:04 ]

stefano88 · Messaggio da **stefano88** » 01 gen 1970, 01:33

Tenendo conto che a parità di prodotto la somma di due numeri aumenta insieme alla loro differenza penso che n debba avere come divisori i numeri naturali più bassi in successione.
 Infatti: m.c.m.(1,2) = 2; m.c.m.(1,2,3) = 6; m.c.m.(1,2,3,4) = 12; m.c.m.(1,2,3,4,5) = m.c.m.(1,2,3,4,5,6) = 60; m.c.m.(1,2,3,4,5,6,7) = 420; m.c.m.(1,2,3,4,5,6,7,<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> = 840;
 Mi pare che tutti questi numeri risolvano la disequazione sigma(n)/n>sigma(k)/k. Inoltre è facilmente dimostrabile che questo rapporto cresce sempre usando questo tipo di numeri. Ma ora basta. Il secondo tempo è iniziato. FORZA DEPORTIVO!!!

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

meno parole, più fatti!

jabberwocky · Messaggio da **jabberwocky** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-06 11:16, sprmnt21 wrote:
 1. le terne (a,-a,1) con a intero sono soluzioni del sistema dato.
 
 Supponendo che c =/= 1 ( a+b =/= 0) si ha che
 
 
 (a+b)^3-3ab(a+b)=1-c^2 cioe\' (1-c)^2-3ab = 1+c <==> c^2-3c=3ab (1).
 
 Un\'altra relazione che deriva dalle equazioni date (dividendo la prima per la seconda membro a membro) e\' la seguente a^2-ab+b^2=1+c da cui segue che 1+c > ab (2). Combinando la (1) e la (2) si ha che 3(1+c)>c^2-3c da cui deriva che c < 7. Dalla (1) deriva pure che c e\' multiplo di 3 quindi i valori per c possono essere 3 e 6.
 Per c=3 si ha che ab=0 e a+b=-2 cioe\' (0,-2,3) e (-2,0,3).
 Per c=6 si ha che ab=6 e a+b=-5 cioe\' (-2,-3,3) e (-3,-2,3).
 
 
 Valori negativi di c non vanno bene perche\' a+b e a^3+b^3 devono avere lo stesso segno.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 se non sbaglio hai dimenticato c=0 con soluzioni (1,0,0) e (0,1,0)

stefano88 · Messaggio da **stefano88** » 01 gen 1970, 01:33

Se prendiamo un numero n che soddisfa la condizione sigma(n)/n > sigma(k)/k, ce ne saranno sempre inifiniti con questo rapporto maggiore, per esempio 2n; sigma(2n) = 2sigma(n) + x, dove x è la somma di 2 più tutti i divisori di n che non hanno 2 come fattore primo.
 Se ne deduce che sigma(2n)/2n > sigma(n)/n. A questo punto ci sono due casi possibili: tra n e 2n c\'è un altro numero con il rapporto maggiore di sigma(n) + x/2n, allora y=questo numero; altrimenti y=2n.
 Questo procedimento può essere ripetuto all\'infinito ponendo ogni volta n=y. Ad ogni passaggio corrisponde una soluzione diversa della disequazione.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Dalla (1) deriva pure che c e\' multiplo di 3 quindi i valori per c possono essere 3 e 6.
 Per c=3 si ha che ab=0 e a+b=-2 cioe\' (0,-2,3) e (-2,0,3).
 Per c=6 si ha che ab=6 e a+b=-5 cioe\' (-2,-3,3) e (-3,-2,3).
 
 
 Valori negativi di c non vanno bene perche\' a+b e a^3+b^3 devono avere lo stesso segno.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 se non sbaglio hai dimenticato c=0 con soluzioni (1,0,0) e (0,1,0)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 non sbagli anche 0 e\' un multiplo di 3 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">