nuovamente successioni

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

dimostrare che la successione
 
 an=(an-1)3+1999
 
 an naturali
 
 contiene al più un quadrato perfetto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-04-2004 18:39 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

bella!
 allora:
 
 an+2=x2=(an 3 + 1999)3 +1999
 non ha soluzioni, basta cosiderare il mod(7)
 
 quindi per n>2 non ci sono sicuramente quadrati,
 
 se a1 non è un quadrato, allora, anche se lo fosse a2, la tesi sarebbe vera,
 
 se invece a1 è un quadrato, a2 non può esserlo
 
 infatti la diofantea x2=y6+1999 non ammette nessuna soluzione (basta scomporre la differenza di quadrati... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 07-04-2004 19:03 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

bene, visto che il problema è stato trucidato (complimenti Biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
 ne propongo un altro
 
 trovare il numero di coppie (x,y) di interi positivi tali che
 
 x2=1212 + y2
 
 e (generalizzazione improvvisata)
 
 x2=12n + y2
 
 con n naturale
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-04-2004 19:23 ]

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

(n+1)^2 ???

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

...dimostrazione?? (il mio risultato, buttato giù adesso, è diverso)

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

vediamo se questa funziona...
 (x+y)(x-y)=12^n
 12^n ha (n+1)(2n+1) divisori di cui ci interessano solo le coppie(il cui prodotto è 12^n)pari per cui i divisori che ci interessano sono (n+1)2n,questa quantità va divisa per 2 perchè ci interessano coppie di divisori e ulteriormente per 2 perchè x+y>x-y e quindi non bisogna considerare le coppie simmetriche sempre perchè x+y>x-y se n è pari bisogna sottrarre al tutto 1.
 In definitiva il numero richiesto è n(n+1)/2 (-1 se n pari)
 Non so se è corretta perchè vado di fretta che gioca la salernitana! [ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 07-04-2004 20:23 ]

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Io vado ancora più di fretta ed ho provato solo con alcuni (uno solo) esempi numerici: mi esce un numero un \"pò\" più basso....

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

A me esce che le soluzioni (x,y) sono n-2. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Ho sbagliato tutto!

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Rilancio:
 
 x^2=p^n + y^2, con p numero primo dispari.

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

La dimostrazione di prima è sballata in qualche punto,devo rivederla meglio con calma,quella di massimino,sperando di non commettere ancora errori, dovrebbe essere[(n+1)/2]<---parte intera:
 sempre con la differenza di quadrati si ha che x+y=p^i x-y=p^(n-i) fino a quando i>n-i dopodichè il sistema nn ha più soluzioni.Da ciò si deduce la formula di sopra

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

x^2=p^n + y^2
 (x-y)(x+y)=p^n
 
 x-y=p^a
 x+y=p^b
 a+b=n
 
 x=(p^b+p^a)/2
 y=(p^b-p^a)/2
 
 x=(p^(n-a)+p^a)/2
 y=(p^(n-a)-p^a)/2
 
 per ogni p, n, 1<a<n etc etc, non sono un po\' troppe le soluzioni con p primo?

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

In che senso un pò troppe?
 e cmq credo che 1<=aminoren/2 ,se a>n/2 y è negativo e mi pare che il problema,almeno all\'inizio volesse gli interi positivi [ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 08-04-2004 10:45 ]

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>In che senso un pò troppe?
 e cmq credo che 1<=aminoren/2 ,se a>n/2 y è negativo e mi pare che il problema,almeno all\'inizio volesse gli interi positivi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ho letto solo il tuo testo, l\'originale me lo sono perso
 
 po\'
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 08-04-2004 11:01 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-04-07 19:39, edony wrote:
 vediamo se questa funziona...
 (x+y)(x-y)=12^n
 12^n ha (n+1)(2n+1) divisori di cui ci interessano solo le coppie(il cui prodotto è 12^n)pari per cui i divisori che ci interessano sono (n+1)2n,questa quantità va divisa per 2 perchè ci interessano coppie di divisori e ulteriormente per 2 perchè x+y>x-y e quindi non bisogna considerare le coppie simmetriche sempre perchè x+y>x-y se n è pari bisogna sottrarre al tutto 1.
 In definitiva il numero richiesto è n(n+1)/2 (-1 se n pari)
 Non so se è corretta perchè vado di fretta che gioca la salernitana!
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 07-04-2004 20:23 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 occhio che l\'esponente del 2 in x+y e x-y non può essere nè 0 nè n, affinchè x e y siano interi
 
 comunque se
 
 (x+y)=3a*2b
 (x-y)=3c*2d
 
 a+c=n 0<=a,c<=n
 b+d=2n 0 < b,d < n
 
 hai n+1 scelte per l\'esponente a e 2n-1 per b, e c e d non univocamente determinati. peccato che dividendo per 2 per assicurarsi che x+y>x-y, salti fuori
 (n+1)(2n-1)/2 che per n=12 è frazionario <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 08-04-2004 18:49 ]