Dimostrate che se a(n) è un numero primo, allora n è multiplo di 12.
<BR>
<BR>a(n)=9a(n-1)-24a(n-2)+15a(n-3)
<BR>a(0)=3
<BR>a(1)=9
<BR>a(2)=35
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>
déjà vu
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-
FrancescoVeneziano
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Ultimamente ti vedo molto preso dalla
<BR>serie numeriche (Base5 docet) : devo
<BR>ammettere che il mestiere dello \"scioglitore\"
<BR>di ricorrenze è molto appagante... pongo
<BR>un problema :
<BR>
<BR>F(0)=1
<BR>F(1)=1
<BR>F(n+1)=F(n)+F(n-1)
<BR>
<BR>quanto vale
<BR>
<BR>sum[j=0..inf] 1/F(j)
<BR>
<BR>???
<BR>serie numeriche (Base5 docet) : devo
<BR>ammettere che il mestiere dello \"scioglitore\"
<BR>di ricorrenze è molto appagante... pongo
<BR>un problema :
<BR>
<BR>F(0)=1
<BR>F(1)=1
<BR>F(n+1)=F(n)+F(n-1)
<BR>
<BR>quanto vale
<BR>
<BR>sum[j=0..inf] 1/F(j)
<BR>
<BR>???
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Davide_Grossi
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Carina <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>Però l\'enunciato del teorema è vero.
<BR>Per l\'unico (rapido controllo con excel, la successione è decisamente crescente) valore primo di a(n), n è in effetti un multiplo di 12.
<BR>Basta dimostrare che la successione è crescente e sfruttare che a(n) == 0 (mod 3). Troppo stanco, però, magari domani.<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 2002-08-05 22:11 ]</font>
<BR>Però l\'enunciato del teorema è vero.
<BR>Per l\'unico (rapido controllo con excel, la successione è decisamente crescente) valore primo di a(n), n è in effetti un multiplo di 12.
<BR>Basta dimostrare che la successione è crescente e sfruttare che a(n) == 0 (mod 3). Troppo stanco, però, magari domani.<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 2002-08-05 22:11 ]</font>
Davide Grossi
-
FrancescoVeneziano
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OK, il problema di riscaldamento è stato risolto, ora passiamo a quello più sostanzioso:
<BR>
<BR>Dimostrate che se b(n) è un numero primo, allora n è multiplo di 12.
<BR>
<BR>b(n)=9b(n-1)-<!-- BBCode Start --><B>23</B><!-- BBCode End -->b(n-2)+15b(n-3)
<BR>b(0)=3
<BR>b(1)=9
<BR>b(2)=35
<BR>
<BR>Quasi uguale alla prima successione.
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 2002-08-07 10:16 ]</font>
<BR>
<BR>Dimostrate che se b(n) è un numero primo, allora n è multiplo di 12.
<BR>
<BR>b(n)=9b(n-1)-<!-- BBCode Start --><B>23</B><!-- BBCode End -->b(n-2)+15b(n-3)
<BR>b(0)=3
<BR>b(1)=9
<BR>b(2)=35
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<BR>Quasi uguale alla prima successione.
<BR>[addsig]<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: FrancescoVeneziano il 2002-08-07 10:16 ]</font>
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Consideriamo che
<BR>b(n+2)=3*(3*b(n+1) - 8*b(n) + 5*b(n-1)) + b(n), quindi se
<BR>3 | b(n) (n>=1) allora 3 | b(n+2), poiché b(1) = 3, allora 3 | b(2m+1) per ogni m appartenente ad N (si prova per induzione, ma credo di poter tralasciare...).
<BR>Ora consideriamo le congruenze modulo 5 e modulo 7 degli elementi b(n) della successione.
<BR>Abbiamo che b(6n+2) == b(6n+4) == 0 (mod 7), quindi se b(n) è primo, n è necessariamente un multiplo di 6. Abbiamo poi che b(4n+2) == 0 (mod 5), quindi se b(n) è primo, n è necessariamente multiplo di 4, ma un multiplo di 4 e 6 è multiplo di 12, e di qui la tesi.
<BR>Però questo problema mi ha dato uno spunto interessante: consideriamo la successione:
<BR>x_0 = X_0, x_1 = X_1,... x_m = X_m, x_(n+m+1) = sum[i = 0, 1,..(m-1), m, a_i*x_(n+i)].
<BR>Dette R_j (j = 1, 2,..m, (m+1)) le soluzioni (anche complesse) dell\'equazione
<BR>t^(m+1) - sum[i = 0, 1,... (m-1), m, (a_i)*x^(m-i)] = 0,
<BR>ci sarebbe da dimostrare questa \"cavolatina\":
<BR>x_p = sum[i = 0, 1, ... (m-1), m, b_i*(R_i)^p], (*)
<BR>dove i coefficienti b_i si ricavano risolvendo il sistema di m+1 equazioni lineari ottenuto imponendo alla formula (*) di essere valida per ogni p tale che 0<=p<=m...
<BR>La mia soluzione mi sembra un po\' troppo artificiosa e mi sa di \"serpente che si morde la coda\"...
<BR>
<BR>b(n+2)=3*(3*b(n+1) - 8*b(n) + 5*b(n-1)) + b(n), quindi se
<BR>3 | b(n) (n>=1) allora 3 | b(n+2), poiché b(1) = 3, allora 3 | b(2m+1) per ogni m appartenente ad N (si prova per induzione, ma credo di poter tralasciare...).
<BR>Ora consideriamo le congruenze modulo 5 e modulo 7 degli elementi b(n) della successione.
<BR>Abbiamo che b(6n+2) == b(6n+4) == 0 (mod 7), quindi se b(n) è primo, n è necessariamente un multiplo di 6. Abbiamo poi che b(4n+2) == 0 (mod 5), quindi se b(n) è primo, n è necessariamente multiplo di 4, ma un multiplo di 4 e 6 è multiplo di 12, e di qui la tesi.
<BR>Però questo problema mi ha dato uno spunto interessante: consideriamo la successione:
<BR>x_0 = X_0, x_1 = X_1,... x_m = X_m, x_(n+m+1) = sum[i = 0, 1,..(m-1), m, a_i*x_(n+i)].
<BR>Dette R_j (j = 1, 2,..m, (m+1)) le soluzioni (anche complesse) dell\'equazione
<BR>t^(m+1) - sum[i = 0, 1,... (m-1), m, (a_i)*x^(m-i)] = 0,
<BR>ci sarebbe da dimostrare questa \"cavolatina\":
<BR>x_p = sum[i = 0, 1, ... (m-1), m, b_i*(R_i)^p], (*)
<BR>dove i coefficienti b_i si ricavano risolvendo il sistema di m+1 equazioni lineari ottenuto imponendo alla formula (*) di essere valida per ogni p tale che 0<=p<=m...
<BR>La mia soluzione mi sembra un po\' troppo artificiosa e mi sa di \"serpente che si morde la coda\"...
<BR>