questo è stato uno degli esercizi più \"parlati\" di pisa 2002:
<BR>camillo è in un condominio con 7 tedeschi. ogni condomino ha un posto auto riservato. camillo però è rozzo e burino e parcheggia a casaccio. i tedeschi invece sono precisi e cercano finchè possono di parcheggiare nel loro posto. se un tedesco però trova il suo posto occupato parcheggia anche lui a caso. Un giorno camillo arriva primo quando non c\'è parcheggiata ancora nessuna macchina. Qual\'è la probabilità che l\'ultimo tedesco che arriva trova il suo posto libero?
<BR>divertitevi...
CAMILLO (FROM PISA 2002)
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FrancescoVeneziano
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La probabilità che il tedesco numero 7 trovi il posto occupato è la somma delle probabilità che questo sia stato occupato da Camillo, dal tedesco numero 1, dal tedesco numero 2…
<BR>Quindi 1/8+1/8^2+1/8^3…+1/8^7
<BR>Esprimendo la somma in forma chiusa abbiamo (8^8-7*8^7 – 1)/(7*8^7)
<BR>Quindi la probabilità che il posto sia libero è (14*8^7-8^8-1)/(7*8^7)= 1797559/2097152 cioè circa 85,7%
<BR>Cosa intendi con “più parlati”?
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>
<BR>Quindi 1/8+1/8^2+1/8^3…+1/8^7
<BR>Esprimendo la somma in forma chiusa abbiamo (8^8-7*8^7 – 1)/(7*8^7)
<BR>Quindi la probabilità che il posto sia libero è (14*8^7-8^8-1)/(7*8^7)= 1797559/2097152 cioè circa 85,7%
<BR>Cosa intendi con “più parlati”?
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Immagino che intenda \"più discusso\". Visto che a quanto pare non c\'ero più quando questo problema molto discusso veniva discusso, dò la mia soluzione.
<BR>Consideriamo il caso generale con Camillo ed n-1 tedeschi. Sia a_n la probabilità che il posto dell\'ultimo tedesco sia occupato.
<BR>Ora numeriamo da 1 ad n i posti auto secondo l\'ordine d\'arrivo dei proprietari. Se Camillo occupa l\'ultimo posto (probabilità 1/n), questo risulterà ovviamente occupato. Se Camillo occupa il posto di uno degli altri tedeschi (probabilità 1/n per ciascuno), poniamo quello che ha il posto i, tutti gli i-2 tedeschi che lo precedono avranno il loro posto, e ci si troverà in una situazione identica al caso con Camillo e n-i+1 tedeschi. Infatti possiamo eliminare gli i-2 tedeschi al loro posto insieme ai loro posti e Camillo insieme al posto i, visto che sono tutti già occupati. Il tedesco proprietario del posto i si comporta esattamente come Camillo nel caso di lui ed n-1+i tedeschi: infatti non trovando il suo posto ne sceglie uno a caso, e l\'unico che consente agli altri di disporsi in ordine è proprio quello che spetterebbe a Camillo. Dunque a_n=1/n*(1+suma_(n-1+i)).
<BR>Dimostriamo ora che questa espressione è uguale a 1/2 per tutti gli n>=2. Evidentemente a_2=1/2. Supponiamo a_2=a_3=...=a_(n-1)=1/2. Allora a_n=1/n*(1+(n-2)*1/2)=1/n*n/2=1/2. (Dato il risultato così carino c\'è fose un modo più elegante per dimostrarlo, anche se questo mi soddisfa abbastanza)
<BR>
<BR>(I miei orari si stanno antimaterizzando)[addsig]
<BR>Consideriamo il caso generale con Camillo ed n-1 tedeschi. Sia a_n la probabilità che il posto dell\'ultimo tedesco sia occupato.
<BR>Ora numeriamo da 1 ad n i posti auto secondo l\'ordine d\'arrivo dei proprietari. Se Camillo occupa l\'ultimo posto (probabilità 1/n), questo risulterà ovviamente occupato. Se Camillo occupa il posto di uno degli altri tedeschi (probabilità 1/n per ciascuno), poniamo quello che ha il posto i, tutti gli i-2 tedeschi che lo precedono avranno il loro posto, e ci si troverà in una situazione identica al caso con Camillo e n-i+1 tedeschi. Infatti possiamo eliminare gli i-2 tedeschi al loro posto insieme ai loro posti e Camillo insieme al posto i, visto che sono tutti già occupati. Il tedesco proprietario del posto i si comporta esattamente come Camillo nel caso di lui ed n-1+i tedeschi: infatti non trovando il suo posto ne sceglie uno a caso, e l\'unico che consente agli altri di disporsi in ordine è proprio quello che spetterebbe a Camillo. Dunque a_n=1/n*(1+suma_(n-1+i)).
<BR>Dimostriamo ora che questa espressione è uguale a 1/2 per tutti gli n>=2. Evidentemente a_2=1/2. Supponiamo a_2=a_3=...=a_(n-1)=1/2. Allora a_n=1/n*(1+(n-2)*1/2)=1/n*n/2=1/2. (Dato il risultato così carino c\'è fose un modo più elegante per dimostrarlo, anche se questo mi soddisfa abbastanza)
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<BR>(I miei orari si stanno antimaterizzando)[addsig]
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]
Ecco un\'altra soluzione.
<BR>Denotiamo con 1-->a-->b-->... il fatto che Camillo va nel posto a, il cui proprietario va nel posto b ecc. Possiamo trascurare tutti gli eventuali posti compresi tra a e 1 perché sono occupati dai loro legittimi proprietari e non interferiscono dunque col problema, e così i posti tra a e b coi loro proprietari ecc. Il sig. i può andare solo o in 1 o in un posto j>i, perché tutti i posti precedenti sono stati occupati (o dal loro proprietario, o da un altro: se non fossero già occupati, ci sarebbe il loro proprietario!). Se a un certo punto il signor z<n finisce in n, possiamo dire senz\'altro che questo è occupato. Se a un certo punto il signor z finisce in 1, tutti i signori dopo di lui avranno il loro posto, compreso il sig. n. Questo perché tutti i posti dopo z sono liberi: infatti non possono essere occupati né da z (che è in 1), né da qualcuno che viene prima di z (che o è al suo posto, o è in un posto più avanti - in 1 deve andarci z -: ma non può essere più avanti di z. Infatti procedendo a ritroso con la notazione scritta sopra abbiamo 1-->z-->a-->b-->...-->1, dove z>a>b>...>1. Nessuno tra z,a,b,... può essere oltre z, perché sappiamo che va in un posto che viene proma; d\'altra parte tutti quelli che vengono prima di z e non compaiono scritti lì sopra stanno ai loro posti).
<BR>Ma ad ogni passo la probabilità che un tale finisca in 1 (n libero) è uguale alla probabilità che quel tale finisca in n (n occupato). Quindi 1/2.[addsig]
<BR>Denotiamo con 1-->a-->b-->... il fatto che Camillo va nel posto a, il cui proprietario va nel posto b ecc. Possiamo trascurare tutti gli eventuali posti compresi tra a e 1 perché sono occupati dai loro legittimi proprietari e non interferiscono dunque col problema, e così i posti tra a e b coi loro proprietari ecc. Il sig. i può andare solo o in 1 o in un posto j>i, perché tutti i posti precedenti sono stati occupati (o dal loro proprietario, o da un altro: se non fossero già occupati, ci sarebbe il loro proprietario!). Se a un certo punto il signor z<n finisce in n, possiamo dire senz\'altro che questo è occupato. Se a un certo punto il signor z finisce in 1, tutti i signori dopo di lui avranno il loro posto, compreso il sig. n. Questo perché tutti i posti dopo z sono liberi: infatti non possono essere occupati né da z (che è in 1), né da qualcuno che viene prima di z (che o è al suo posto, o è in un posto più avanti - in 1 deve andarci z -: ma non può essere più avanti di z. Infatti procedendo a ritroso con la notazione scritta sopra abbiamo 1-->z-->a-->b-->...-->1, dove z>a>b>...>1. Nessuno tra z,a,b,... può essere oltre z, perché sappiamo che va in un posto che viene proma; d\'altra parte tutti quelli che vengono prima di z e non compaiono scritti lì sopra stanno ai loro posti).
<BR>Ma ad ogni passo la probabilità che un tale finisca in 1 (n libero) è uguale alla probabilità che quel tale finisca in n (n occupato). Quindi 1/2.[addsig]
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]