2 esercizi

[Maus]

Salve! Provate questi:
<BR>
<BR>1) A sequence of natural numbers (X_n ) is formed in the following way:
<BR> X_1 = 19 X_2 = 95
<BR>X_(n+2) = LCM ( X_(n+1) , X_n ) + X_n.
<BR>Find GCD ( X1995 , X1996 ). [LCM - least common multiple GCD - greatest common divisor]
<BR>
<BR>
<BR>2) Prove that there are infinitely many integers that are not equal to the sum of two squares of integers, but that are equal to the sum of three cubes of integers.

[alberto]

sono di fretta e faccio solo il secondo (poi penserò anche al primo):
<BR>la somma di 2 quadrati può essere == 1,2 oppure a 0 (mod 4)
<BR>la somma dei cubi di tre numeri della forma 4k+1 (per esempio)è sempre ==3 (mod 4), risultato che non si può raggiungere con la somma di 2 quadrati. (lo stesso risultaTO (mod 4) SI PUò OTTENERE IN MOLTI ALTRI MODI, AD ES. SOMMANDO 2 CUBI PARI E 27)
<BR>è evidente che sono infiniti i numeri che si possono costruire come somma dei cubi di tre numeri della forma 4k+1
<BR><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: alberto il 2002-09-09 16:53 ]</font>

[DD]

Se il testo è quello, prendi i cubi di tre numeri negativi qualunque...

[DD]

1) E\' 19. Denotiamo per semplicità mcm(a,b) ovvero LCD (a,b) soltanto con (a,b). Dimostriamo per induzione che (x_n, x_(n+1))=19 per tutti gli n>=1. Per n=1 questo è vero. Ora supponiamo che sia (x_k,x_(k+1))=19, ovvero x_k=19a, x_(k+1)=19b con (a,b)=1 e (19,b)=1 o (vel) (19,a)=1. Allora GCD(x_k,x_(k+1))=19ab, e x_(k+2)=19ab+19a=19a(b+1). Allora x_(k+1) e x_(k+2) non hanno altri fattori comuni che il 19, perché (a,b)=1 per ipotesi, (b,(b+1))=1, (19,a),(19,b) e (19,(b+1)) sono tutti o 1 o tutt\'al più 19, ma non può essere contemporaneamente (19,b)=19 e (19,b+1)=19, oppure (19,a)=19 e (19,b)=19 (questo per ipotesi induttiva).[addsig]

[alberto]

questa soluzione necessita due correzioni di forma nella prima riga <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>(mcm-->MCD; LCD-->GCD)

[Maus]

già

[DD]

E di una nella quarta: GCD-->LCM ovvero mcm. Chiedo perdono