Piedi di ceviane e punti notevoli

[EvaristeG]

ABC triangolo, I incentro, AH, BK altezze di ABC. Dimostrare che
<BR>
<BR>I sta in HK <==> HK=BH+KA.
<BR>
<BR>(non ne sono sicuro, ma dovrebbe essere vero)

[karl]

<!-- BBCode Start --><B>Dimostro che se AK+BH=KH=>I sta su HK.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Sia :l\'angolo CAB=2a ,I l\'intersezione di KH con
<BR>la bisettrice dell\'angolo BAC.La circonferenza di diametro
<BR>AB passa per K ed H,inoltre su KH
<BR>prendiamo KN=AK ( e quind NH=BH) ed uniamo
<BR>N ed I con A e B.
<BR>Posto l\'angolo IAN=c ,tenuto conto che il quadrilatero
<BR>AKHB e\' inscritto in una crf.,ne segue:
<BR>KAB=2a,KHB=180°-2a,HNB=HBN=a,KAN=a+c=KNA.
<BR>Dal triangolo AKN si ricava:
<BR>AKN=180°-KAN-KNA=180-2a-2c e quindi :HBA=2a+2c.
<BR>Ora INB=180°-HNB=180°-a e pertanto ,essendo IAB=a,il
<BR>quadrilatero AINB e\' anch\'esso inscrittibile in una crf. Da cio\'
<BR>segue che IAN=IBN perche angoli che insistono sullo stesso
<BR>arco IN.
<BR>Pertanto IBH=a+c e IBA=HBA-IBH=2a+2c-a-c=a+c.
<BR>Questo prova che ,essendo IB bisettrice anche dell\'angolo HBA,
<BR>I e\' proprio l\'incentro del triangolo.
<BR>Il teorema reciproco lo lascio a qualche altro( penso che basti
<BR>rifare il ragionamento al contrario) ,ho gia\' scritto abbastanza.
<BR>
<BR>