problemino

mattilgale · Messaggio da **mattilgale** » 01 gen 1970, 01:33

i forum languono mentre i geniacci sono a Cesenatico.
 
 Quindi per i comuni mortali rimasti sul sito propongo questo problemino...
 
 \"dimostrare che le equazioni x^2+xy+y^2 e x^2-xy+y^2 (falsi quadrati) hanno sempre risultato diverso da zero se almeno uno tra x ed y è diverso da zero\"
 
 sembra difficile ma quando l\'hai risolto ti accorgi che è una cazzata...[addsig]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Ora io non vedo equazioni da nessuna parte......
 se intendi che le 2 quantità nn vanno mai a zero se uno tra x e y è diverso da 0, è ovvio perchè tutto si annulla sempre meno un quadrato positivo diverso da 0. Va bè...abbiamo capito che è banale nn credo così tanto: spiegati!

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, info, ma tu hai supposto che uno tra x e y sia 0. Devi anche considerare i casi in cui sono entrambi diversi da 0.
 
 Basta dimostrare un caso, perche\' x e y variano su tutto R, e l\'altro caso si ottiene con la sostituzione x-->-x.
 
 Supponiamo x2+xy+y2=0, e dimostriamo che almeno uno tra x e y dev\'essere 0. Per simmetria, avremmo che anche l\'altro dev\'essere 0. Poniamoli allora entrambi diversi da 0, ed abbiamo (x+y)2=xy: se x e y sono discordi, il membro a sx e\' positivo o nullo, quello a dx negativo, assurdo. Se sono concordi, i membri sono entrambi positivi, ma quello a sx e\' strettamente maggiore di quello a dx (perche\' |x+y|>|x|), assurdo. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 29-05-2004 17:21 ]

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

oppure (faccio solo un caso, l\'altro è identico)
 
 (x - y) * (x2 + xy + y2) = x3 - y3
 
 che va a zero SE E SOLO SE x = y
 
 quindi se x != y allora x2 + xy + y2 != 0
 ed è evidente che anche se x = y (x,y != 0) x2 + xy + y2 != 0 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: AleX_ZeTa il 30-05-2004 18:47 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

veramente quello che stai dicendo è conseguenza, non causa, di quello che stiamo cercando di dimostrare...
 basta semplicemente dividere il tutto per la variabile non nulla, e osservare che il delta di quello che salta fuori è negativo
 ciao...

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-29 17:58, ma_go wrote:
 basta semplicemente dividere il tutto per la variabile non nulla, e osservare che il delta di quello che salta fuori è negativo
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Vorrai dire, per il quadrato della variabile non nulla. Con questo sistema si dimostra che la proprieta\' vale per tutte le espressioni della forma x2+kxy+y2, con |k|<2.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-05-29 17:58, ma_go wrote:
 veramente quello che stai dicendo è conseguenza, non causa, di quello che stiamo cercando di dimostrare...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 E poi, che cappero dici, la dimostrazione di alex e\' ineccepibile, e penso sia la migliore tra quelle che si sono viste!! (a parte per il fatto che quel (x-y)3 dovrebbe diventare un x3-y3, ma penso sia un lapsus)
 Non ci siamo, ma_go, non ci siamo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 29-05-2004 19:18 ]

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

ehm... ops si^^
 
 \"piccolo\" errore <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

mattilgale · Messaggio da **mattilgale** » 01 gen 1970, 01:33

io ho fatto una cosa + semplice...
 
 nel caso in cui uno tra x ed y sia uguale a 0 la soluzione è banale.
 
 nel caso in cui. invece, sia x sia y siano diversi da 0 è ovvio che sia x^2 sia y^2 sono positivi, inoltre xy<=(ad uno tra x^2 ed y^2)...
 ne deriva, ovviamente che x^2+y^2 >+-xy --> x^2+-xy+y^2 >0
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [addsig]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Va bè ringrazio mattilgale per NON avermi spiegato il problema a suo tempo quando era stato richieto. Cmq, se entrambi sono diversi da 0, abbiamo che:
 
 x^2+y^2>=2xy
 
 per la differenza tra le medie. Questo, stando attendi al fatto che la dis tra medie vale solo per numer positivi e....porta alla conclusione voluta...