parabola

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao
 
 Come fareste a trovare l\'equazione della parabola passante per (1,1), (2,2) (2,1) e tangente in (2,1) alla retta di equazione y=x/2 ??
 
 Grazie

Kalidor · Messaggio da **Kalidor** » 01 gen 1970, 01:33

come fa a passare in 2,2 e 2,1 ?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

nessuno ha detto che debba avere l\'asse parallelo ad uno degli assi coordinanti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

eh già Marco! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

hm...
 io vedo due strade.
 1. strada calcolosa, ovvero ricavi l\'equazione generica della parabola nel piano cartesiano, metti a sistema le tre equazioni (con le coordinate sostituite a dovere), e ricavi l\'equazione in funzione di un determinato parametro.
 metti a sistema quest\'equazione con quella della retta ed imponi le condizioni di tangenza, ma è una cosa piuttosto pallosa.
 oppure...
 2. fissi le coordinate del fuoco (come parametri), sfrutti opportunamente la condizione di tangenza per ottenere la direzione dell\'asse di simmetria (ma conoscendone un punto, si conosce anche l\'equazione stessa), e quindi la direzione della direttrice (e sfruttando opportunamente gli altri punti salta fuori la direttrice stessa, che in teoria sarebbe possibile scegliere tra due).
 
 ora, non vi assicuro che la seconda sia poi percorribile, ma la prima è abbastanza orrida (o forse no? non ho poi guardato molto bene)

Davide_Grossi · Messaggio da **Davide_Grossi** » 01 gen 1970, 01:33

Giusto un\'idea così...
 
 Conica generica: ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey +f = 0, che rappresenta una parabola se b^2 - 4ac = 0. Sostituendo le coordinate dei punti si ricava:
 
 a+b+c+d+e+f=0
 4a+4b+4c+2d+2e+f=0
 4a+2b+2c+2d+e+f=0
 b^2 - 4ac=0
 
 da cui, con un po\' di passaggi calcolosi ma non troppo:
 
 b = -c
 d = -3a
 e = 0
 f = 2a
 
 e per imporre che sia un parabola deve essere b=0 OR b=-4a.
 
 Risulta quindi: ax^2 + bxy - by^2 - 3ax + 2a = 0.
 
 Ora:
 b=0 ==> ax^2 - 3ax + 2a = 0,
 b = -4a ==> ax^2 - 4axy + 4y^2 - 3ax + 2a = 0
 
 La prima è una coppia di rette, x = 2 e x = 1, con parametro a che può variare la loro ascissa, ma il tutto non ci interessa.
 La più carina mi sembra la seconda, basta imporre la condizione di tangenza, delta pari a zero, ma mi viene che la \"a\" scompare.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> avrò fatto qualche cannata da qualche parte.... boh! E\' tanto che non faccio robe del genere...
 
 Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

frengo · Messaggio da **frengo** » 01 gen 1970, 01:33

l\'equazione generia della conica è ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+1=0.
 perchè sia una parabola si deve avere b^2-4ac=0
 perchè passi per (1;1) si deve avere a+b+c+d+e+1=0
 perchè passi per (2;2) si deve avere 4a+4b+4c+2d+2e+1=0
 perchè passi per (2;1) si deve avere 4a+2b+c+2d+e+1=0
 perchè sia tangente a x=2y:
 4ay^2+2by^2+cy^2+2dy+ey+1=0
 (4a+2b+c)y^2+(2d+e)y+1=0
 delta=0:
 4d^2+4de+e^2-16a-8b-4c=0
 5 equazioni ---->5 incognite
 ora sta a voi risolverlo...

frengo · Messaggio da **frengo** » 01 gen 1970, 01:33

d\'oh...l\'ha già mandato un altro.
 vabbè in ogni caso la sua soluzione è completa, perchè qualsiasi valore assuma il parametro a la parabola è sempre la stessa.

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Con l\'aiuto di un programma CAS ho ottenuto la seguente parabola:
 [3 + 2sqrt(2)]x² - 2[4 + 3sqrt(2)]xy + 2[3 + 2sqrt(2)]y² - x - 2y + 2 = 0
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 Ho verificato graficamente e sembra quella giusta!

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-03 17:21, frengo wrote:
 l\'equazione generia della conica è ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+1=0.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Bisogna stare attenti! Questa è l\'equazione generica di una conica che non passa x l\'origine... Nel nostro caso va bene xkè si vede a occhio che non passa per l\'origine xò attenzione... non è l\'equazione genericissimissima...
 
 Uffa, così mi pare di esser troppo pignolo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

frengo · Messaggio da **frengo** » 01 gen 1970, 01:33

lo so ho scelto f come parametro da eliminare perchè era l\'unico che (ad occhio) non poteva essere 0, cosa che non potevo dire di tutti gli altri parametri... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Un modo semplice per risolvere il problema e\'
 quello del fascio di coniche.
 Poniamo:A(1,1),B(2,2),C(2,1),D(2,1)
 La conica richiesta appartiene al fascio individuato
 dalle due coniche degeneri:
 AB*CD=0 ed AC*BD=0, la cui equazione e\' quindi:
 AC*BD+kAB*CD=0 ,con k parametro da determinare.
 Ora:
 AB-->x-y=0,CD--->x-2y=0 [i punti C e D coincidono e la retta
 che li unisce e\' la tangente data]
 AC-->y-1=0,BD-->x-2=0.
 Dunque il fascio e\': (x-y)(x-2y)+k(x-2)(y-1)=0 ovvero
 x2+(k-3)xy+2y2-kx-2ky+2k=0
 Per avere la parabola occorre annullare il delta della parte di 2°grado:
 (k-3)2-8=0---k1=3-2sqrt(2),k2=3+2sqrt(2).
 Sostituendo tali valori di k nell\'equazione del fascio si ottiene il
 risultato[vi sono quindi due parabole che soddisfano le condizioni imposte] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 04-06-2004 16:43 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Poiche\' stiamo in tema di problemi sulle coniche,
 ne posto uno relativo all\'iperbole.
 E\' data l\'iperbole di asintoti:y=x/2 e y=4x.
 Senza passare per l\'equazione della curva,
 determinare l\'equazione della tangente alla
 iperbole nel suo punto P(1,2).
 Successivamente scrivere l\'equazione
 dell\'iperbole .