Ancora su.....

[Simo_the_wolf]

1) Trovare il massimo di a²+b² sapendo che a,b € [1,2,3,...2003,2004] e che:
<BR>(a²-ab-b²)²=1
<BR>
<BR>2) La funzione f(x,y) soddisfa le seguenti condizioni:
<BR>f(0,y)=y+1
<BR>f(x+1,0)=f(x,1)
<BR>f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))
<BR>per tutti gli x,y interi non negativi
<BR>trovare f(4,2004) e f(4,1981)
<BR>
<BR>per il primo vale il titolo ancora su... mentre il secondo è messo così, x esercizio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 03-06-2004 19:00 ]

[Simo_the_wolf]

Op!
<BR>
<BR>P.S.:mi serve un aiuto x il 2°!!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

[EvaristeG]

Per il secondo...prova a dimostrare che:
<BR>
<BR>f(1,k)=k+2
<BR>
<BR>f(2,k)=3+2k
<BR>
<BR>f(3,k)=16k - 3
<BR>
<BR>e poi, se sei arrivato qui, trovi anche f(4,k)...
<BR>
<BR>(Sperando di non aver scritto stronzate...l\'ho fatta a mente)

[matthewtrager]

ciao simo... per il primo vediamo che trovata una coppia (a,b) che soddisfa l\'equazione, allora anche anche la coppia (a+b,a) la soddisfa, infatti sostituendo:
<BR>(a+b)^2 - (a+b)a - a^2=+-1
<BR>a^2+b^2+2ab-a^2-ab-a^2=+-1
<BR>-a^2+2ab+b^2=+-1
<BR>che e\' l\'opposto valore per a e b e quindi e\' ancora una soluzione. Allora poiche\' la coppia 1,1 soddisfa l\'equazione, un insieme di soluzioni e\' dato da coppie di numeri di fibonacci consecutivi. Inoltre si dimostra che queste sono le uniche soluzioni perche\' se per assurdo avessimo una coppia x,y \"non fibonacci\", allora potremmo procedere all\'indietro trovando le soluzioni y, x-y (la dimostrazione di prima vale anche nell\'altro verso), invertendo i numeri quando si arriva ad avere il primo minore del secondo (cosi\' l\'equazione cambia di segno ma e\' sempre soddisfatta). Le coppie saranno sempre positive e per la discesa infinita si devono stabilizzare, arrivando a due numeri uguali. Tuttavia se i due numeri non sono uguali a 1 (e quindi la coppia di partenza sarebbe stata una coppia di fibonacci), questa non puo\' mai soddifare l\'equazione perche\' sarebbe uguale a -b^2. Quindi le soluzioni sono solo coppie di fibonacci consecutivi e si tratta solamente di trovare la piu\' grande coppia minore di 2004 (basta arrivare a contare i primi 17 numeri di fibonacci, non richiede molto; senno\' si usa la formula x l\'ennesimo fibonacci ma e\' piu\' complicato) ed e\' 987, 1597. (credo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )

[karl]

La terza relazione indicata da EvaristeG sembra non vada bene.
<BR>Infatti da essa si dedurrebbe:
<BR>f(3,0)=-3, mentre dalla 2° indicata da Simo si ottiene :
<BR>[per la relazione f(2,k)=2k+3 (con la quale concordo) ]
<BR>f(3,0)=f(2,1)=2*1+3=5.
<BR>La relazione esatta sembra essere:
<BR>f(3,k)=2^k+3-3.
<BR>Per f(4,k) avrei trovato il seguente risultato:
<BR>f(4,0)=f(3,1)=2¹⁺³-3=2⁴-3.
<BR>per k>0: f(4,k)=f(3,f(4,k-1)=2^f(4,k-1)+3-3
<BR>Da questa relazione ricorsiva si possono trarre ( si fa per dire)
<BR>f(4,1981) ed f(4,2004).
<BR>\"Si fa per dire\" perche\' si otterrebbero numeri pazzeschi,
<BR>salvo possibilissimi miei errori.

[Simo_the_wolf]

Sì, ok, poi ci sono arrivato ank\'io alla ricorsività di quella robaccia ma mi sembrava una cosa troppo assurda... Invece ho ricontrollato troppe volte per essere sbagliata!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>La sol di matthew è giustissima! E io che ero adato a complicarmi la vita con il delta... Lasciamo perdere!!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 06-06-2004 22:02 ]