Costruire il triangolo ABC (con riga e compasso) date le misure di AB, AC e di: a) la mediana per A, b) l\'altezza per A, c) la bisettrice per A.
<BR>
<BR>Vabbè... l\'a ed il b, sono tanto per completezza vista la semplicità...
Costruzioni
Moderatore: tutor
cominciamo coi più semplici:
<BR>_data l\'altezza: costruiamo tre circonferenze concentriche C(b),C(c),C(h) con centro A e di raggio AB,AC,AH rispettivamente. fissiamo il punto B su C(b). troviamo il punto medio M di AB(è possibile farlo con riga e compasso) e costruiamo la circonferenza di centro M e raggio MA. i punti in cui la circonferenza incontra C(h) sono le altezze del triangolo. costruendo la retta che passa per uno di questi punti e per B e intersecandola con C(c) si trova il punto C
<BR>_data la mediana:costruiamo tre circonferenze concentriche C(b),C(c),C(m) con centro A e di raggio AB,AC,AM rispettivamente. fissiamo il punto B su C(b)(ipotizzando che C(b) sia la circonferenza con raggio maggiore). troviamo il punto medio (N) di AB. fissiamo un punto C\' su C(c) e troviamo il punto medio (M\') di C\'A. costruiamo la circonferenza di centro N e di raggio M\'A e intersechiamola con C(m), trovando il punto M (AM= mediana) [in realtà sono due, ma ne consideriamo uno solo]. ora tracciamo la retta BM, centriamo in M con raggio BM e dall\'altra parte troviamo il punto C (che deve essere anche un punto di C(c))
<BR>la bisettrice...ci devo pensare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>_data l\'altezza: costruiamo tre circonferenze concentriche C(b),C(c),C(h) con centro A e di raggio AB,AC,AH rispettivamente. fissiamo il punto B su C(b). troviamo il punto medio M di AB(è possibile farlo con riga e compasso) e costruiamo la circonferenza di centro M e raggio MA. i punti in cui la circonferenza incontra C(h) sono le altezze del triangolo. costruendo la retta che passa per uno di questi punti e per B e intersecandola con C(c) si trova il punto C
<BR>_data la mediana:costruiamo tre circonferenze concentriche C(b),C(c),C(m) con centro A e di raggio AB,AC,AM rispettivamente. fissiamo il punto B su C(b)(ipotizzando che C(b) sia la circonferenza con raggio maggiore). troviamo il punto medio (N) di AB. fissiamo un punto C\' su C(c) e troviamo il punto medio (M\') di C\'A. costruiamo la circonferenza di centro N e di raggio M\'A e intersechiamola con C(m), trovando il punto M (AM= mediana) [in realtà sono due, ma ne consideriamo uno solo]. ora tracciamo la retta BM, centriamo in M con raggio BM e dall\'altra parte troviamo il punto C (che deve essere anche un punto di C(c))
<BR>la bisettrice...ci devo pensare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
Poniamo AB<=AC, chiamiamo la bisettrice AD. Teniamo fisso il segmento
<BR>AC e piazziamo AB e AD su AC (in modo che i punti (in ordine) A,B,D,C siano
<BR>collineari). Chiamiamo M il punto tra B e C tale che BM/MC=AB/AC.
<BR>Chiamiamo T1 la circonferenza con centro in A e raggio AB, T2 la
<BR>circonferenza con diametro AM, T3 la circonferenza con centro in A e raggio
<BR>AD. Si verifica facilmente (teorema della bisettrice + triviali considerazioni
<BR>sulla dilatazione) che T2 è il luogo dei punti d\'intersezione tra la bisettrice
<BR>^B\'AC e il segmento B\'C quando B\' varia su T1. Chiamiamo E l\'intersezione
<BR>di T2 e T3 (una delle due, tanto sono simmetriche). Ruotiamo AE di ^EAC
<BR>attorno ad A, fino ad ottenere un segmento che interseca T1 in B\'\'.
<BR>
<BR>B\'\'AC è il triangolo cercato :
<BR>AB\'\' = AB
<BR>AE = AD
<BR>AC = AC
<BR>^B\'\'AE = 1/2 ^B\'\'AC
<BR>proprio come serviva.
<BR>
<BR>I geometri dominano... ([T2] docet)
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<BR>AC e piazziamo AB e AD su AC (in modo che i punti (in ordine) A,B,D,C siano
<BR>collineari). Chiamiamo M il punto tra B e C tale che BM/MC=AB/AC.
<BR>Chiamiamo T1 la circonferenza con centro in A e raggio AB, T2 la
<BR>circonferenza con diametro AM, T3 la circonferenza con centro in A e raggio
<BR>AD. Si verifica facilmente (teorema della bisettrice + triviali considerazioni
<BR>sulla dilatazione) che T2 è il luogo dei punti d\'intersezione tra la bisettrice
<BR>^B\'AC e il segmento B\'C quando B\' varia su T1. Chiamiamo E l\'intersezione
<BR>di T2 e T3 (una delle due, tanto sono simmetriche). Ruotiamo AE di ^EAC
<BR>attorno ad A, fino ad ottenere un segmento che interseca T1 in B\'\'.
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<BR>B\'\'AC è il triangolo cercato :
<BR>AB\'\' = AB
<BR>AE = AD
<BR>AC = AC
<BR>^B\'\'AE = 1/2 ^B\'\'AC
<BR>proprio come serviva.
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<BR>I geometri dominano... ([T2] docet)
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