Il Gioco Aureo

[MindFlyer]

Questo proviene da Antonino. Divertitevi!!
<BR>
<BR>I due amici Johann Carl Friedrich e Srinivasa Aiyangar hanno inventato un altro giochino: il Gioco Aureo. Si comincia con due pile di m>0 ed n>0 gettoni dei videogiochi rispettivamente. A turno, ogni giocatore deve scegliere un k intero positivo ed ingoiare k gettoni da una pila, oppure k gettoni da entrambe le pile. Vince chi riesce ad ingoiare l\'ultimo gettone.
<BR>Comincia Johann Carl Friedrich. Per quali valori di m e n ha una strategia vincente?[addsig]

[thematrix]

Ho trovato qualcosa per qusto problema.
<BR>Prima cosa:esistono delle configurazioni iniziali perdenti.Questo non è affatto difficile da verificare,per esempio con (2,1).
<BR>Seconda cosa:chiamiamo a il numero |m-n|. Per ogni valore di a esiste una sola configurazione perdente.
<BR>
<BR>Per dimostrare che esiste,si procede in questo modo.
<BR>Supponiamo dapprima che ciò sia vero per tutti i valori di a minori di a_ (se a_ = 2,ciò si verifica facilmente).Sia B l\'insieme dei numeri assegnati a m ed n per tutti i valori di a inferiori a un certo a_ ; assegnamo a n il più piccolo intero positivo non appartenente a B,e ovviamente a m il numero (n + a_).Questa è una configurazione perdente:infatti,le tre mosse possibili sono tutte perdenti.
<BR>Se venissero tolti x gettoni da entrambe le pile,si otterrebbe una configurazione con a=a_ ,ma con n diminuito;a quel punto,l\'altro giocatore può trasformare tale configurazione in una \"perdente\" per il primo togliendo opportunamente un certo numero di gettoni dalla pila m; essendo questo n appartenente a B,tale configurazione esiste di sicuro.
<BR>Se venissero tolti x gettoni dalla pila m,si otterrebbe una configurazione con n uguale ma a diverso.A questo punto il secondo giocatore toglie un certo numero di gettoni da entrambe le pile,in modo da trasformare la configurazione in una \"perdente\" per quel valore di a.Se infine venissero tolti x gettoni da n,il secondo giocatore può togliere opportunamente un certo numero di gettoni da m,fino a trasformare la configurazione in una \"perdente\",cosa possibile poichè il nuovo valore di n appartiene a B.
<BR>
<BR>Appurato che una configurazione perdente per ogni valore di a esiste,bisogna dimostrare che sia l\'unica.Si vede facilmente che ,prendendone un\'altra con a uguale ma m,n maggiori,il primo giocatore può ridurla a quella \"perdente\",che risulta tale per il secondo.se,invece,m,n fossero minori,il primo giocatore potrebbe trasformarla in una configurazione \"perdente\" per il secondo,togliendo opportunamente un certo numero di gettoni da m,poichè n appartiene a B e quindi genera una configurazione \"perdente\".
<BR>
<BR>In conclusione,il primo giocatore vincerà sicuramente,a meno che non gli capiti una configurazione \"perdente\" all\'inizio.[addsig]

[MASSO]

Darò anch\'io il mio contributo benchè scarno:
<BR>L\'unica configurazione da cui non ci si può salvare è m=2 n=1; tutte le altre che definisci perdenti sono tali perchè evitando di pareggiare le due colonne ed evitando di annullarne una (mosse che porterebbero ovviamente alla perdita della partita) si riducono inevitabilmente alla perdente.
<BR>In pratica se non ho capito male hai detto che il primo giocatore perde quando l\'altro può vincere. Ma se l\'altro possiede una strategia vincente indipendentemente dalla mossa del primo giocatore significa che (dato m>n ed a=m-n) per tutte le coppie aventi: **
<BR>
<BR>la configurazione risulta vincente e quindi se esistono coppie perdenti devono avere tutte a,m,n diversi.
<BR>
<BR>Di queste configurazioni ne ho trovate abbastanza ma non riesco a vederci dentro nessuna regola matematica; perciò vi ripasso la palla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MASSO il 16-06-2004 12:44 ]

[MASSO]

**
<BR>m\'-uguale-m n\'-minore-n
<BR>m\'-minore-m n\'-uguale-n
<BR>m\'-minore-m a\'-uguale-a
<BR>
<BR>non so perchè ma se lo scrivevo coi simboli non mi appariva <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MASSO il 16-06-2004 12:48 ]

[MindFlyer]

Sì, beh, come in ogni gioco deterministico in cui ogni partita dura un numero finito di turni e finisce con la vittoria di un giocatore, anche qui esistono configurazioni vincenti e perdenti. E\' chiaro che esiste anche un algoritmo generico per stabilire se una configurazione è perdente o vincente, ed in questo caso qual è la mossa che porta alla vittoria.
<BR>Appurato ciò, bisognerebbe cercare di caratterizzare le mosse perdenti <!-- BBCode Start --><I>nel caso specifico di questo problema</I><!-- BBCode End -->, dando così un significato al nome del gioco.