Esercizietto

positrone · Messaggio da **positrone** » 01 gen 1970, 01:33

Trovare il limite della successione nrt1/n!.

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Cos\'è nrt? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

visto che sqrt è la radice sq-quadrata, la nrt sarà la radice n-sima? (solo ipotesi)
 
 (n!)^(-1/n)
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 17-06-2004 20:32 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

studiamo il lim(n-->+inf) n!1/n:
 n!1/n >= (n/(1+1/22 + 1/32 + 1/42...)1/2
 perchè è il confronto tra la media geometrica e la media p-esima per p=-2 dei primi n naturali.
 
 ora 1+1/22 + 1/32 + 1/42... tende a pi2/6
 dunque lim(n-->+inf (n/(1+1/22 + 1/32 + 1/42...)1/2=+inf.
 
 quindi a maggior ragione sarà che
 lim(n-->+inf) n!1/n=+inf.
 
 e dunque il limite proposto sarà 1/inf. che è 0

positrone · Messaggio da **positrone** » 01 gen 1970, 01:33

Bella la soluzione di Biagio,ma io ho trovato il limite semplicemente applicando il secondo teorema di Cesaro.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

0 < (n/3)^n < n! ==> 0 < (1/n!)^(1/n) < (3/n)
 da cui la tesi. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 19-06-2004 00:56 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 00:55, EvaristeG wrote:
 0 < (n/3)^n < n!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 come lo dimostri?sarà che è tardi, ma non mi sembra evidente, (seppur vero)
 
 ps:ciao sam!!
 pps:qualcuno conosce una soluzione elementare (o sa indicarmi dove trovarla) del fatto che:
 lim(n-->+inf)sum(i=1....n)(1/i2) = pi 2/6??

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 01:36, Biagio wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 00:55, EvaristeG wrote:
 0 < (n/3)^n < n!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 come lo dimostri?sarà che è tardi, ma non mi sembra evidente, (seppur vero)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Usa il fatto che (1+1/n)n<3, e vai per induzione.
 Quest\'ultimo è un risultato classico che precede la definizione di e.

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Dimostrazioni davvero elementari non credo ne esistano (ma dipende da cosa intendiamo per \"elementare\").
 Tutte quelle che conosco provengono da:
 <A HREF="http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf" TARGET="_blank">http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf</A>
 
 CaO
 Francesco

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 10:31, FrancescoVeneziano wrote:
 Dimostrazioni davvero elementari non credo ne esistano
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Anche perchè l\'enunciato stesso non è elementare (una serie...).
 
 EDIT: Parlo dell\'accezione olimpica di \"elementare\". [ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 19-06-2004 13:07 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 01:36, Biagio wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-19 00:55, EvaristeG wrote:
 0 < (n/3)^n < n!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 come lo dimostri?sarà che è tardi, ma non mi sembra evidente, (seppur vero)
 
 ps:ciao sam!!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 per induzione....
 
 1/3<1
 
 (n/3)^n<n! => (n/3)^n * (n+1) < (n+1)!
 e
 ((n+1)/3)^(n+1)<(n/3)^n * (n+1)
 infatti questa equivale a
 ((n+1)/n)^(n)<3
 che è vera
 
 quindi ((n+1)/3)^(n+1)<(n+1)!
 
 ps:ciao biagio!! (la dim è stupida e aveva già risposto mind, ma era l\'occasione per scambiarci un saluto <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

per zeta(2) date un\'occhiata qui
 
 http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =5&start=0
 
 non è troppo rigorosa, ma è carina <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 p.s.: ciao a entrambi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, Viète applicato ai polinomi infiniti (ovvero alle serie di potenze) è qualcosa di più che \"poco rigoroso\" ... cmq, per tutt\'altri motivi, quella dim funziona.
 
 Una curiosità: quella somma la calcolò eulero, ma si vocifera che Leinbniz avesse già modo di farlo... a Leibniz è dovuta la formula per pi/4 dell\'arcotangente:
 
 pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9- ...
 
 che si può scrivere raccogliendo le potenze dei primi :
 
 pi/4=(1-1/3+1/9-1/81+....)*(1+1/5+1/25+...)*....
 
 ovvero, scrivendo in forma compatta le serie geometriche in parentesi,
 
 pi/4=(1/(1+1/3))*(1/(1-1/5))*(1/(1+1/7))*(1/(1+1/11))*(1/(1-1/13))*...
 
 dove il denominatore è una diff quando il primo in questione è congruo a 1 mod 4 ed una somma altrimenti.
 
 Cambiando i segni, si ottiene un altro prodotto infinito
 
 (1/(1-1/3))*(1/(1+1/5))*(1/(1-1/7))*(1/(1-1/11))*(1/(1+1/13))*...
 
 che, sviluppato, da luogo ad una somma degli inversi dei dispari in cui il segno dell\'addendo dipende dalla sua classe resto mod 20...
 
 pare che Leibniz potesse anche sapere che quest\'altra somma fa pi/2.
 
 Quindi
 (1/(1+1/3))*(1/(1-1/5))*(1/(1+1/7))*(1/(1+1/11))*(1/(1-1/13))*...
 *
 (1/(1-1/3))*(1/(1+1/5))*(1/(1-1/7))*(1/(1-1/11))*(1/(1+1/13))*...
 =
 (1/(1-1/3^2))*(1/(1-1/5^2))*(1/(1-1/7^2))*(1/(1-1/11^2))*(1/(1-1/13^2))*...
 =
 1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 +...
 
 Del resto è evidente che
 
 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ... = 1/4(1 + 1/2^2 + 1/3^2 +....)
 
 e quindi che
 
 (1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...)=
 (1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 +...)+ (1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...) =
 (1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 +...)+1/4(1 + 1/2^2 + 1/3^2 +....)
 
 quindi
 
 (1+1/3^2+1/5^2+...)=3/4*(1+1/2^2+1/3^2+...)
 
 Mettendo tutto assieme
 
 (1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...)=4/3 * pi/2 * pi/4=pi^2/6.
 
 Ora, alcuni di questi passaggi vorrebbero pagine e pagine di giustificazioni, ma è divertente pensare che Leibniz li avrebbe fatti senza problema alcuno (il simpatico individuo in questione accettava senza batter ciglio che
 1+2+4+8+....=1/(1-2)=-1
 il che insinua seri dubbi sul suo concetto di convergenza di serie...).
 
 Ps: ciao talpuz!!
 
 PPS: così talpuz non sarà l\'unico a postare cose poco formali e rigorose...
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">