Reciproci di Ceviane
Moderatore: tutor
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MindFlyer
E\' valido un teorema piu\' generale.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Preso un simplesso n-dimensionale di vertici A0, A1, ..., An ed un punto P al suo interno, sia Bi il punto in cui la retta AiP interseca la faccia opposta ad Ai (per i che va da 0 a n). Allora, la somma dei rapporti BiP/AiBi fa 1, mentre la somma dei rapporti AiP/AiBi fa n.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Si dimostra agevolmente considerando opportuni volumi...
<BR>Nel nostro caso, OA/AD+OB/BE+OC/CF=2, da cui la tesi sfruttando il fatto che OA=OB=OC.[addsig]
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Preso un simplesso n-dimensionale di vertici A0, A1, ..., An ed un punto P al suo interno, sia Bi il punto in cui la retta AiP interseca la faccia opposta ad Ai (per i che va da 0 a n). Allora, la somma dei rapporti BiP/AiBi fa 1, mentre la somma dei rapporti AiP/AiBi fa n.</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Si dimostra agevolmente considerando opportuni volumi...
<BR>Nel nostro caso, OA/AD+OB/BE+OC/CF=2, da cui la tesi sfruttando il fatto che OA=OB=OC.[addsig]
Dopo la soluzione di MindFlyer,posto la mia poco
<BR>generale ed assai ...calcolativa.
<BR>Premetto che se a,b,c sono tre angoli di un triangolo,
<BR>allora e\' :
<BR><!-- BBCode Start --><B>cotga*cotgb+cotga*cotgc+cotgb*cotgc=1</B><!-- BBCode End -->
<BR>facilmente dimostrabile partendo da
<BR>a+b=180°-c e passando alle cotangenti.
<BR>Siano ora:
<BR>a,b,c gli angoli di ABC
<BR>R il raggio circoscritto
<BR>M l\'intersezione di AD con BC.
<BR>Risulta:AMB=ACB=c,DBM=90°-b,ADB=90°+c-b,AB=2Rsinc.
<BR>Dal triangolo ADB,per il teorema dei seni,risulta:
<BR>AD=ABsinb/sin(90°+c-b)=2Rsinbsinc/cos(c-b) e quindi:
<BR>1/AD=1/2R*(cotgb*cotgc+1) ed analogamente (permutando gli angoli):
<BR>1/BE=1/2R*(cotga*cotgc+1)
<BR>1/CF=1/2R*(cotga*cotgb+1).
<BR>Sommando:
<BR>1/AD+1/BE+1/CF=1/2R*(cotgb*cotgc+cotga*cotgc+cotga*cotgb+3)=
<BR>=1/2R*(4)=2/R=2/OA.
<BR>
<BR>generale ed assai ...calcolativa.
<BR>Premetto che se a,b,c sono tre angoli di un triangolo,
<BR>allora e\' :
<BR><!-- BBCode Start --><B>cotga*cotgb+cotga*cotgc+cotgb*cotgc=1</B><!-- BBCode End -->
<BR>facilmente dimostrabile partendo da
<BR>a+b=180°-c e passando alle cotangenti.
<BR>Siano ora:
<BR>a,b,c gli angoli di ABC
<BR>R il raggio circoscritto
<BR>M l\'intersezione di AD con BC.
<BR>Risulta:AMB=ACB=c,DBM=90°-b,ADB=90°+c-b,AB=2Rsinc.
<BR>Dal triangolo ADB,per il teorema dei seni,risulta:
<BR>AD=ABsinb/sin(90°+c-b)=2Rsinbsinc/cos(c-b) e quindi:
<BR>1/AD=1/2R*(cotgb*cotgc+1) ed analogamente (permutando gli angoli):
<BR>1/BE=1/2R*(cotga*cotgc+1)
<BR>1/CF=1/2R*(cotga*cotgb+1).
<BR>Sommando:
<BR>1/AD+1/BE+1/CF=1/2R*(cotgb*cotgc+cotga*cotgc+cotga*cotgb+3)=
<BR>=1/2R*(4)=2/R=2/OA.
<BR>
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MindFlyer
Qualche parola sulla dimostrazione del teorema che ho citato: lo dimostro nel caso del tetraedro per fornire l\'idea. Nelle altre dimensioni e\' tutto analogo.
<BR>
<BR>Tetraedro ABCD, con punto P interno e \"ceviane\" AA\', BB\', CC\', DD\' passanti per P.
<BR>Chiamiamo X il volume del tetraedro BCDP, Y il volume di ACDP, Z quello di ABDP e W quello di ABCP; inoltre, V=X+Y+Z+W e\' il volume totale del tetraedro ABCD.
<BR>I tetraedri PBCD e ABCD condividono la base BCD, ed il rapporto tra le loro altezze e\' PA\'/AA\', che quindi e\' anche il rapporto tra i loro volumi: PA\'/AA\'=X/V.
<BR>In modo simile si dimostra che PB\'/BB\'=Y/V, PC\'/CC\'=Z/V e PD\'/DD\'=W/V.
<BR>Sommando membro a membro si ricava PA\'/AA\'+PB\'/BB\'+PC\'/CC\'+PD\'/DD\'=(X+Y+Z+W)/V=1.
<BR>Inoltre, PA/AA\'+PB/BB\'+PC/CC+PD\'/DD=4-(PA\'/AA\'+PB\'/BB\'+PC\'/CC\'+PD\'/DD\')=3.
<BR>
<BR>Tetraedro ABCD, con punto P interno e \"ceviane\" AA\', BB\', CC\', DD\' passanti per P.
<BR>Chiamiamo X il volume del tetraedro BCDP, Y il volume di ACDP, Z quello di ABDP e W quello di ABCP; inoltre, V=X+Y+Z+W e\' il volume totale del tetraedro ABCD.
<BR>I tetraedri PBCD e ABCD condividono la base BCD, ed il rapporto tra le loro altezze e\' PA\'/AA\', che quindi e\' anche il rapporto tra i loro volumi: PA\'/AA\'=X/V.
<BR>In modo simile si dimostra che PB\'/BB\'=Y/V, PC\'/CC\'=Z/V e PD\'/DD\'=W/V.
<BR>Sommando membro a membro si ricava PA\'/AA\'+PB\'/BB\'+PC\'/CC\'+PD\'/DD\'=(X+Y+Z+W)/V=1.
<BR>Inoltre, PA/AA\'+PB/BB\'+PC/CC+PD\'/DD=4-(PA\'/AA\'+PB\'/BB\'+PC\'/CC\'+PD\'/DD\')=3.