Disuguaglianza geometrica

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Sia ABC un triangolo e siano A\' A\'\' sui prolungamenti di AB e AC dalla parte di A (insomma, A sta tra A\' e B, tra A\'\' e C) tali che AA\'=AA\'\'=BC; similmente siano B\' B\'\' sui prolungamenti di BC, BA con BB\'=BB\'\'=AC e C\' C\'\' sui prolungamenti di AC,BC con CC\'=CC\'\'=BA.
 Dimostrare che l\'area dell\'esagono A\'A\'\'B\'B\'\'C\'C\'\' è almeno 13 volte l\'area di ABC.

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

allora...
 non è difficile... indichiamo con S l\'area del triangolo ed S\' l\'area dell\'esagono. a,b,c,A,B,C sono elementi standard del triangolo, R è il raggio della circonferenza circoscritta..
 ricordiamo che 4SR = abc, a = 2RsenA, b = 2RsenB, c = 2RsenC.
 2S\' = a²senA + b²senB + c²senC + (b+c)²senA + (c+a)²senB + (a+b)²senC - 2S.
 ora, 4S\'R = a³+b³+c³ + (b+c)²a + (c+a)²b + (a+b)²c - abc
 applichiamo le disuguaglianze tra le medie (cubica per i primi tre termini, e tre volte aritmetica, confrontate con la geometrica) per ottenere (quasi) direttamente la tesi.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, era facile...
 
 Dato un tetraedro in cui la somma degli spigoli opposti è 1, dimostrare che la somma dei raggi dei cerchi inscritti delle quattro facce è al più 1/sqrt(3) con l\'uguaglianza se e solo se il tetraedro è regolare.
 
 Questo è un po\' più impegnativo. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-06-2004 00:55 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Non riesco a conciliare la tesi con la seguente osservazione: se il tetraedro tende (\"schiacciandosi\") ad un triangolo questo deve essere equilatero di lato unitario e, in questo caso, il raggio del cerchio inscritto e\' la meta di quanto mi aspetterei dalla tesi declamata nel problema.
 
 Dove sta l\'ighippo?
 
 -----
 Come non detto ...
 
 ho \"visto\" male il risultato della trasformazione di \"schiacciamento\".
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 23-06-2004 16:11 ]

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-06-23 16:08, sprmnt21 wrote:
 Dove sta l\'ighippo?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Nel fatto che non puoi schiacciare il tetraedro a piacere, per il vincolo sugli spigoli.
 
 EDIT: Ops, te n\'eri accorto da solo... scusa. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 RI-EDIT: In realta\' puoi schiacciarlo fino ad un triangolo equilatero, ma non di lati unitari: cosi\' gli altri 3 raggi non sono nulli, e tutto torna. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 23-06-2004 16:27 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

non solo ho visto male lo \"schiacciamento\" ma, ancora piu\' grave, ho cercato di confutare che il massimo della somma potesse essere quello dichiarato sulla base di un (presuynto) controesempio che dava un valore meta\'.
 Morale della favola: bisogna almeno leggere con attenzione il teso del problema!
 
 va beh ... avrei un\'idea di come fare in linea teorica ad impostare la cosa, ma se non c\'e\' una scorciatoia vengono talmente tanti conti che non la comincio neppure.

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Ah, era un massimo? LOL!
 
 Comunque, se puo\' essere utile, si dimostra che esiste una sfera tangente a tutti gli spigoli del tetraedro. E direi che puo\' essere utile!

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Premessa.
 Siano m,n,p i segmenti (distinti) che in un triangolo vanno
 da un vertice verso un punto di contatto.E\' facile dimostrare
 che il raggio inscritto r e\' dato da:
 r=sqrt[mnp/(m+n+p)]
 Da qui ,applicando AM-GM,si ottiene:
 r<=sqrt[(m+n+p)^3/(27*(m+n+p))]=(m+n+p)/(3sqrt(3))
 ed ancora,tenuto conto che m+n+p=semiperimetro,si ha:
 r<=(a+b+c)/(6sqrt(3)) essendo a,b,c i lati del triangolo.
 Applichiamo ora questa formula alle 4 facce del tetraedro:
 r(ABC)<=(AB+AC+BC)/(6sqrt(3))
 r(ABV)<=(AB+AV+BV)/(6sqrt(3))
 r(ACV)<=(AC+AV+VC)/(6sqrt(3))
 r(BCV)<=(BC+BV+CV)/(6sqrt(3)) e sommando:
 Sum(r)<=[(AB+CV)+(AC+BV)+(BC+AV)]/(3sqrt(3) ovvero:
 Sum(r)<=(1+1+1)/(3sqrt(3)=1/sqrt(3)
 l\'eguaglianza avendosi se i sei spigoli risultano uguali.
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-06-2004 17:55 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-06-2004 17:56 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao
 
 E\' vero che:
 
 (x+y+z)^3>=9z(x^2+xy+y^2) con x,y,z reali positivi ???
 
 
 ciao

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Falso.
 Per x=17,y=1,z=10 si ha:
 (x+y+z)^3=28^3=21952
 9z(x^2+xy+y^2)=90(289+17+1)=27630.

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

ok grazie
 
 Un controesempio era quello che mi serviva <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

MindFlyer · Messaggio da **MindFlyer** » 01 gen 1970, 01:33

Un controesempio piu\' semplice e\' y=z=1. Se x tende a 0, i termini tendono a 8 e 9. Quindi per la loro continuita\' esiste un x abbastanza piccolo che fa fallire la disuguaglianza.