Moltiplichiamo tutto!!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Prendete un poligono regolare con n lati di lunghezza a.
 Quanto fa il prodotto tra loro di tutti i lati e le diagonali ?
 (diagonale è qualsiasi segmento che colleghi due vertici non consecutivi)

MASSO · Messaggio da **MASSO** » 01 gen 1970, 01:33

perchè?

MaMo · Messaggio da **MaMo** » 01 gen 1970, 01:33

Io conosco una soluzione molto più \"sintetica\"!
 Se il poligono è inscritto in un cerchio di raggio 1, il prodotto è n^(n/2).

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Sarò cretino, ma non ho capito cosa state dicendo...
 Non mi interessa il risultato in sè, ovviamente, ma la dimostrazione che è quello.
 Inoltre, che vuol dire \"perchè?\" ???!!??

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Sul \"perche\' \" rispondo io.
 In realta\'avevo postato una soluzione di cui
 Masso chiedeva spiegazione.
 Successivamente mi sono accorto di aver scritto
 una boiata e ho cancellato il post e cosi\' il \"perche\' \"
 di Masso e\' rimasto (tristemente) appeso.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, \"perchè\" giustificato!!
 A questo punto, vi chiederei anche di provare a calcolare il prodotto in più di un modo...la strada è tutt\'altro che unica, quindi non abbandonate l\'argomento appena qualcuno posta una soluzione...state tranquilli che non è l\'unica possibile. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Avrei trovato una soluzione un po\' laboriosa.
 Premessa.
 Partiamo dalla identita\' (che magari giustifichero\'
 in seguito)
 x^(2n)-1=(x^2-1)*Prod[s=1..n-1](x^2-2xcos(s*Pi/n)+1)
 Oppure:
 x^(2n-2)+x^(2n-4)+..+x^2+1=Prod[s=1..n-1](x^2-2xcos(s*Pi/n)+1)
 Ponendo x=1 ed x=-1, si ha:
 n=Prod[4*sin^2(s*Pi/(2n))]=2^(2n-2)*Prod[s=1..n-1]*sin^2(s*Pi/(2n))
 n=Prod[4*cos^2(s*Pi/(2n))]=2^(2n-2)*Prod[s=1..n-1]*cos^2(s*Pi/(2n))
 Da cui:
 (a) sqrt(n)=2^(n-1)*Prod[s=1..n-1]*sin(s*Pi/(2n))
 (b) sqrt(n)=2^(n-1)*Prod[s=1..n-1]*cos(s*Pi/(2n))
 Fissato ora un riferimento cartesiano ortogonale con origine
 nel centro del poligono e detto r il raggio dello stesso,le
 coordinate dei vertici Zi sono:
 Zi=[r*cos(2*s*Pi/n),r*sin(2*s*Pi/n)]
 Prendendo le Zi a 2 a 2 si ottengono n(n-1) coppie di cui solo
 n(n-1)/2 sono distinte e rappresentano gli n lati + le n(n-3)/2 diagonali.
 Le relative lunghezze sono:
 ZjZi^2=r^2*[cos(2i*Pi/n)-cos(2j*Pi/n)]^2+r^2*[sin(2i*Pi/n)-sin2*j*Pi/n)]^2
 con j=1..n-1 e i=j+1..n
 oppure (con qualche calcolo):
 ZjZi=2r*sin(Pi*(i-j)/n).
 Pertanto il prodotto richiesto e\'( con le variazioni di j ed i predette):
 (c) P=(2r)n(n-1)/2*Prod[sin(Pi*(i-j)/n)]
 Se si vuole esprimere P in funzione del lato a del poligono,occorre
 osservare che a=2r*sin(Pi/n)---->2r=a/sin(Pi/n) e sostituendo:
 (d) P=[a/sin(Pi/n)]*n(n-1)/2*Prod[sin(Pi*(i-j)/n)]
 Per trasformare queste formule,partiamo dalla (c).
 Risulta (ricordando come variano j ed i e ponendo Q=Prod[sin(Pi*(i-j)/n)]):
 Q=(sin(Pi/n))(n-1)*(sin(2Pi/n))(n-2)*(sin(3Pi/n))(n-3)*..*(sin(Pi(n-1)/n))1
 Invertendo i fattori ed osservando che le basi delle potenze equidistanti
 dal centro del prodotto sono uguali,risulta:
 Q=(sin(Pi/n))1*(sin(2Pi/n))2*(sin(3Pi/n))3*..*(sin(Pi(n-1)/n)(n-1)
 e moltiplicando:
 Q2=[sin(Pi/n)*sin(2Pi/n)*....*sin(Pi*(n-1)/n)]n
 Oppure:
 Q2/n=2(n-1)*Prod[s=1..n-1]sin(s*Pi/(2n))*Prod[s=1..n-1]cos(s*Pi/(2n))[/B]
 e per le (a) e (b):
 Q2/n=n/(2(n-1)) da cui:
 Q=nn/2/2n(n-1)/2
 Sostituendo tale valore di Q nella (c) segue:
 P=rn(n-1)/2*nn/2
 Se si pone r=1 si ha la formula proposta da Mamo.
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 03-07-2004 23:01 ]

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

hint / idea standard:
 Le radici n-esme dell\'unità occupano nel piano complesso i vertici di un poligono regolare di n lati
 
 CaO
 Francesco

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Infatti le Zi ,da me indicate, sono proprio le radici n-esime dell\'unita\' ,
 sia pure sotto forma di coordinate!

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

mi mancava di dimostrare che prod (2*sen(pi*i/n))=n ma con le radici complesse dell\'unità mi pare + facile... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

a me non piace considerare il lato assegnato... anche perché dubito che in questo caso esistano formule esplicite... quindi, assegnamo raggio 1, e notiamo che, se x_1, x_2, ... x_n sono complessi a caso, |P| = P_m, dove P è il prodotto degli x_k, e P_m il prodotto degli |x_k|.
 chiamiamo Q il prodotto cercato...
 a questo punto, consideriamo gli n-1 z_k: z_k = cos(k*2pi/n) + i*sen(k*2pi/n), per k che va da 1 ad n-1.
 scegliamo (1,0) come vertice \"preferenziale\" e notiamo che:
 1. P(x) = prod[k=0..n-1] (x-z_k) = (z^n - 1)/(z-1) = sum[k=0..n-1] x^k.
 2. Q = prod[k=0..n-1] |(1-z_k)| = |P(1)|
 a questo punto, Q = n...

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

A me sembra che la formula esplicita ( in funzione,com\'e\'
 ovvio,di a e di n ) ci sia.E\' sufficiente sostituire
 nella formula da me trovata r con a/(2sin(Pi/n)) e si ha:
  P=[a/(2sin(Pi/n))]n(n-1)/2*nn/2.
 D\'altra parte porre r=1 e\' come assegnare il lato del poligono,
 sia pure in scala.
 Se poi s\'intendeva dire un\'altra cosa,mi scuserete.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 04-07-2004 22:07 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

come espliciti il seno?
 insomma, spero si intendesse qualcosa di \"più\" esplicito <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Osservo che sin(Pi/n) e\' solo un numero che dipende
 esclusivamente dal numero dei lati del poligono.
 Insomma ,non e\' una somma, non e\' un prodotto:
 cosa ci sarebbe da esplicitare? e rispetto a che cosa?
 Forse \"esplicitare\" vuol significare esprimere il risultato
 con altri elementi del poligono,ma questo e\'stato gia\' fatto.

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

so anch\'io che è solo funzione di n.
 ma penso che intendesse funzioni elementari (operazioni elementari) arricchite al massimo di potenze e radici...
 era questa la mia perplessità.