Radici Intere

[NicolasBourbaki]

Propongo questo esercizio di algebra che mi pare abbastanza interessante:
<BR>
<BR>Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(0) e p(13) sono due interi dispari. Determinare il massimo numero di radici intere di p(x).

[karl]

Forse sbaglio, ma un tal polinomio non ha radici intere.
<BR>Infatti osserviamo che, per le proprieta\'delle congruenze,essendo
<BR>13==1 (mod 2), e\' pure P(13)==P(1) (mod 2) il che implica che
<BR>P(1) sia dispari ,poiche\' lo e\' P(13) per ipotesi.
<BR>Sia ora \"a\" una eventuale radice intera di P(x);due sono i casi
<BR>possibili:
<BR>1)a==0 (mod 2) [cioe\' a pari]
<BR>Allora e\' pure P(a)==P(0) (mod 2),ovvero
<BR>0==P(0) ( mod 2) e cio\' e\' impossibile in quanto ,sempre per ipotesi,
<BR>P(0) e\' dispari.
<BR>2)a==1 (mod 2) [cioe\' a e\' dispari]
<BR>Allora e\' pure P(a)==P(1) (mod 2) ,ovvero
<BR>0==P(1) (mod 2) e cio\' e\' falso per le stesse ragioni del precedente
<BR>caso.
<BR>Adesso mi farete un \" fulminante\" controesempio e sara\' stata tutta
<BR>fatica inutile.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 04-07-2004 17:28 ]

[NicolasBourbaki]

Bravo Karl la risposta è esatta : un sifatto p(x) non può avere radici intere.
<BR>La tua dimostrazione è buona, tuttavia esiste una strada simile ma più breve ed anche basata su strumenti più \"elementari\" per provare la tesi . La indicherò tra breve perchè ora sono occupato. Ciao

[Biagio]

eilà<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>p(numero pari)=dispari, dato che p(0)=dispasri
<BR>p(numero dispari)=dispari, dato che p(13)=dispari
<BR>
<BR>allora non esiste n: p(n)=pari, a maggior ragione non esiste n: p(n)=0
<BR>
<BR>questa è la sintesi di karl, la cui dimostrazione è però chiaramente + dettagliata <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 04-07-2004 19:01 ]

[ma_go]

P(b) - P(a) = (b-a)Q(a,b).
<BR>in particolare, supponiamo che n sia radice intera di P, allora
<BR>1) n dispari: (n-13) | [P(n) - P(13)], quindi 2 | -P(13), che è dispari, assurdo.
<BR>2) n pari: (n-0) | [P(n) - P(0)], quindi 2 | -P(0), che è dispari, assurdo.
<BR>