1)Fissiamo 3 carte in un mazzo da 40 carte. Mischiamo bene l\'intero mazzo.
<BR>Quante carte dobbiamo scoprire in media per ritrovare la suddetta carta?
<BR>1bis)L\'avaria di un sistema è spiegabile solo col guasto di 5 dei suoi 185 componenti. Qual è il numero medio di componenti che dobbiamo analizzare prima di individuare i 5 guasti?
<BR>2)Generalizzare nel caso di D carte fissare in un mazzo da N carte.
<BR>2bis)Generalizzare nel caso di D componenti guasti e N componenti totali.
<BR>
<BR>Buon lavoro.
Probabilità
Moderatore: tutor
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massiminozippy
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Ciao...sono appena tornato in Italia (e ci rimarrò per poco)...Vedo che nessuno ha risposto a max..Ci provo..
<BR>Vado con il 2 (alias 1bis), dato che del 1° nn trovo chiaro il testo (ma immagino siano simili).
<BR>
<BR>Per trovare il numero medio dei componenti calcolo la sommatoria:
<BR>S[k=1..185] k*m(k)
<BR>con m(k) la probabilità di trovare i 5 guasti in k tentativi. Sarebbe come prendere 100 tentativi e fare una media ponderata su di questi, credo..
<BR>Ora, posto q= 180!/185!,
<BR>
<BR>m(5) = 5! / C[185,5]* 5! =5!*q (combinazioni favorevoli/combinazioni possibili);
<BR>
<BR>m(6) = (C[180,1] * 5 * 5!) / ( C[185,6] * 6!) = 5*5!*q
<BR>per le combinazioni favorevoli ho imposto che l\'ultimo componente fosse scelto a caso, che l\'ultimo fosse uno dei 5 guasti (altrimenti avremmo finito prima) e ho moltiplicato per le possibili permutazioni degli altri componenti.
<BR>
<BR>m(7) = (C[180,2]*5*6!) / (C[185,7]*7!)=(5*6!*q)/2
<BR>
<BR>e così via...calcolando la sommatoria sopra si ottiene che:
<BR>S= 5q ( 5!+6!+7!/2+8!/3+....+185!/180!)
<BR>che riscriviamo come
<BR>S= 5q*5! (1+6!/5!+7!/(2!*5!)+...+185!/(180!*5!) )
<BR>riconoscendo i binomiali
<BR>S=5q*5! ( C[5,5]+C[6,5]+C[7,5]+...+C[185,5] )
<BR>
<BR>Ora ho trovato facendo l\'eserizio questa bella formula, che potrete per induzione verificare (o con altri metodi) e magari generalizzare senza problemi se volete:
<BR>
<BR>C[5,5]+C[6,5]+...+C[n,5] = (n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)/6!
<BR>
<BR>apllicandola sopra e svolgendo i calcoli si ottiene S=155...cosa ne dite?
<BR>
<BR>
<BR>Ma perchè io mi sbatto a rispondere ai messaggi senza risposta altrui, quando gli altri se ne sbattono delle mie richieste? Qualcuno si degna di rispondere alle \'successioni primose\' di Simo the wolf attualmente nella terza pagina del forum \'Proponi gli esercizi\'?...gli sarei molto grato! <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-07-2004 11:37 ]
<BR>Vado con il 2 (alias 1bis), dato che del 1° nn trovo chiaro il testo (ma immagino siano simili).
<BR>
<BR>Per trovare il numero medio dei componenti calcolo la sommatoria:
<BR>S[k=1..185] k*m(k)
<BR>con m(k) la probabilità di trovare i 5 guasti in k tentativi. Sarebbe come prendere 100 tentativi e fare una media ponderata su di questi, credo..
<BR>Ora, posto q= 180!/185!,
<BR>
<BR>m(5) = 5! / C[185,5]* 5! =5!*q (combinazioni favorevoli/combinazioni possibili);
<BR>
<BR>m(6) = (C[180,1] * 5 * 5!) / ( C[185,6] * 6!) = 5*5!*q
<BR>per le combinazioni favorevoli ho imposto che l\'ultimo componente fosse scelto a caso, che l\'ultimo fosse uno dei 5 guasti (altrimenti avremmo finito prima) e ho moltiplicato per le possibili permutazioni degli altri componenti.
<BR>
<BR>m(7) = (C[180,2]*5*6!) / (C[185,7]*7!)=(5*6!*q)/2
<BR>
<BR>e così via...calcolando la sommatoria sopra si ottiene che:
<BR>S= 5q ( 5!+6!+7!/2+8!/3+....+185!/180!)
<BR>che riscriviamo come
<BR>S= 5q*5! (1+6!/5!+7!/(2!*5!)+...+185!/(180!*5!) )
<BR>riconoscendo i binomiali
<BR>S=5q*5! ( C[5,5]+C[6,5]+C[7,5]+...+C[185,5] )
<BR>
<BR>Ora ho trovato facendo l\'eserizio questa bella formula, che potrete per induzione verificare (o con altri metodi) e magari generalizzare senza problemi se volete:
<BR>
<BR>C[5,5]+C[6,5]+...+C[n,5] = (n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)/6!
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<BR>apllicandola sopra e svolgendo i calcoli si ottiene S=155...cosa ne dite?
<BR>
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<BR>Ma perchè io mi sbatto a rispondere ai messaggi senza risposta altrui, quando gli altri se ne sbattono delle mie richieste? Qualcuno si degna di rispondere alle \'successioni primose\' di Simo the wolf attualmente nella terza pagina del forum \'Proponi gli esercizi\'?...gli sarei molto grato! <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 14-07-2004 11:37 ]