accanimento algebrico

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-11 12:01, Leblanc wrote:
 Per la surgettività di f possiamo porre per ogni y f(t)=y:
 f(xf(x) + f(f(t)))=[f(x)]^2 + f(t) e essendo f(f(t))=t
 f(xf(x) + t)=[f(x)]^2 + f(t) (1)
 
 Sempre per la surgettività di f possiamo porre per ogni x f(u)=x:
 f(f(u)f(f(u)) + t)=[f(f(u))]^2 + f(t) e essendo f(f(u))=u
 f(f(u)u + t)=u^2 + f(t) (2)
 
 Le espressioni di sinistra nella (1) e nella (2) sono identiche ponendo t=u=x per cui:
 [f(x)]^2 + f(x)=x^2 + f(x), cioè [f(x)]^2=x^2, quindi f(x)=+-x
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ciao! Ho dato uno sguardo alla dimostrazione, e\' molto simile a quella a cui pensavo io... ottimo uso delle \"idee standard\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 Unica cosa, forse la notazione non e\' ottimale nel passo che ho citato... Secondo me era meglio specificare che (poiche\' f e\' biiettiva) le formule 1 e 2 che hai trovato valgono per ogni t e u; poi alla fine quando poni t=u=x sembra che sia lo stesso x per cui hai posto f(u)=x (e quindi non sarebbe una posizione lecita): meglio cambiare lettera...
 
 ciao,
 --federico

Leblanc · Messaggio da **Leblanc** » 01 gen 1970, 01:33

Innanzitutto grazie per le correzioni, ci staro\' piu\' attenta.
 
 Rilancio anche con un altro problema sulle funzioni, preso dall\'Engel. La soluzione che il libro propone non mi convince affatto, anche perchè mi pare di avere trovato altre soluzioni oltre a quella che lui da\'.
 
 Trovare tutte le soluzioni continue di
 f(x-y) = f(x) f(y) + g(x) g(y)
 (es 16 pag 27<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 L\'Engel trova solo la sol f(x)=cos x e g(x)=sin y, oltre all\'identicamente nulla.
 Io ho trovato altre sol costanti. non riesco pero\' a dimostrare l\'unicita\' di quella sopra.
 Le sol costanti sono:
 f(x)=1/a g(x)= sqrt(a-1)/a con a costante >=1
 f(x)=1 g(x)=0
 
 Ciao
 Maria

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-12 14:05, Leblanc wrote:
 Innanzitutto grazie per le correzioni, ci staro\' piu\' attenta.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Niente di grave in realta\'... e\' solo \"labor limae\", dettagli sul solution-writing.
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Rilancio anche con un altro problema sulle funzioni, preso dall\'Engel. La soluzione che il libro propone non mi convince affatto, anche perchè mi pare di avere trovato altre soluzioni oltre a quella che lui da\'.
 
 Trovare tutte le soluzioni continue di
 f(x-y) = f(x) f(y) + g(x) g(y)
 (es 16 pag 27<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 L\'Engel trova solo la sol f(x)=cos x e g(x)=sin y, oltre all\'identicamente nulla.
 Io ho trovato altre sol costanti. non riesco pero\' a dimostrare l\'unicita\' di quella sopra.
 Le sol costanti sono:
 f(x)=1/a g(x)= sqrt(a-1)/a con a costante >=1
 f(x)=1 g(x)=0
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Poi provo a farlo anch\'io e vedo... Comunque e\' possibilissimo che il buon vecchio Engel si sbagli, abbiamo gia\' discusso su questo forum (\"funzionale facilina\") di una altra e.f. in cui (a quanto pare) da\' una soluzione sballata.
 
 ciao,
 --f

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

t\'oh, guarda un po\' chi si vede!!
 
 ciao Maria!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 come ha già detto fph la tua soluzione è giustissima (la mia è molto simile)
 
 vabè, visto che la funzionale ha ingranato, ne propongo altre due (poi provo a fare la tua)
 
 4)f: N -> N tale che
 
 f(m+f(n))=n+f(m+100) per ogni m,n in N
 
 (questa è carina...dopo aver trovato al soluzione <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 quella che ho trovato io è un po\' contorta, vediamo se si può fare di meglio...)
 
 -----------
 
 5)f:R+ -> R+ tale che
 
 - f(x+yf(x))=f(x)f(y) per ogni x,y in R+
 - gli x in R+ tali che f(x)=1 sono in numero finito
 
 occhio: R+ non contiene lo zero!
 
 (questa federico dovrebbe ricordarsela...
 sembra rognosa, soprattutto perchè non ci sono termini \"fuori\" dalla f
 ammetto che non l\'ho risolta.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> sono graditi consigli)
 
 -----------
 
 ok karl per quanto riguarda il 3, anche se c\'era un modo + semplice per dimostrare che la successione è limitata (induzione)
 
 vabè, visto che il 2 non attira, dò un suggerimento:
 
 vicino a quell\' (1+sqrt(2)) ci starebbe bene anche il suo coniugato, (1-sqrt(2)), no?

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-14 18:57, talpuz wrote:
 5)f:R+ -> R+ tale che
 
 - f(x+yf(x))=f(x)f(y) per ogni x,y in R+
 - gli x in R+ tali che f(x)=1 sono in numero finito
 
 occhio: R+ non contiene lo zero!
 
 (questa federico dovrebbe ricordarsela...
 sembra rognosa, soprattutto perchè non ci sono termini \"fuori\" dalla f
 ammetto che non l\'ho risolta.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> sono graditi consigli)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 eh eh... ricordo si\'. Stavo appunto ricercando il testo esatto per metterla negli arnesi. Dovrei ricostruirmi un attimo la soluzione, ora, comunque se vuoi un hint:
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 c\'era una cosa su cui Gobbino ci aveva richiamato l\'attenzione nello stage... fare anche soluzioni \"saltando un passaggio\": se sapessi che quella cosa e\' iniettiva riusciresti a concludere? Si\'? Bene, ora devi solo dimostrare che e\' iniettiva... e non sembra che si faccia con un metodo standard perche\', come notavi tu, non ci sono termini fuori dai segni di funzione...
 
 ciao,
 --f

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-12 15:48, fph wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Trovare tutte le soluzioni continue di
 f(x-y) = f(x) f(y) + g(x) g(y)
 (es 16 pag 27<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 L\'Engel trova solo la sol f(x)=cos x e g(x)=sin y, oltre all\'identicamente nulla.
 Io ho trovato altre sol costanti. non riesco pero\' a dimostrare l\'unicita\' di quella sopra.
 Le sol costanti sono:
 f(x)=1/a g(x)= sqrt(a-1)/a con a costante >=1
 f(x)=1 g(x)=0
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Poi provo a farlo anch\'io e vedo... Comunque e\' possibilissimo che il buon vecchio Engel si sbagli, abbiamo gia\' discusso su questo forum (\"funzionale facilina\") di una altra e.f. in cui (a quanto pare) da\' una soluzione sballata.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Sembra abbastanza sodo, per ora ho una \"quasi soluzione\" in cui non riesco a tappare un buco... si basa sullo scrivere fx^2+gx^2=1 e poi porre fx=cos w(x), gx=sin w(x), a quel punto salta fuori una formula di differenza di coseni...
 in ogni caso continuo a pensarci!
 
 cmq le costanti senza dubbio ci sono, su questo non ci piove. L\'Engel in effetti da\' un\'idea molto schematica, non credo neanche si possa definire \"soluzione\", e\' solo un hint...
 
 ciao,
 --f

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

c\'e\' anche fx=cos x, gx=-sin x... ecco perche\' non riuscivo a eliminarla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 --federico

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

5)f:R+ -> R+ tale che
 
 - f(x+yf(x))=f(x)f(y) per ogni x,y in R+
 - gli x in R+ tali che f(x)=1 sono in numero finito
 
 
 
 Mi cimento con questa. Tutti i numeri di cui parlo sono in R+.
 
 Se esiste un numero r tale che f(r)=1, per x=y=r, dalla prima condizione, si avrebbe che f(2r) = 1. Quindi infiniti punti per cui f(.) assume il valore 1. Ma questo contraddice la seconda condizione.
 
 Provo a provare adesso, come suggerito, che f e\' iniettiva. Cioe\' che dati due numeri a e b diversi supponiamo, senza perdere di generalita,\' a 
 Posto x=a e y=(b-a)/f(a), che per quanto ipotizzato sono valori ammissibili, si ha che:
 
 f(b)=f(a)f((b-a)/f(a))
 
 da questa, per quanto gia\' provato, deriva che f(b)=/=f(a).
 
 A questo punto diventa abbastanza diretto applicare gli schemi \"standard\".
 
 Scambiando il ruolo di x e y, si ha che f(x+yf(x)) = f(y+xf(y)).
 
 Da cui, per l\'iniettivita\'
 
 x+yf(x) = y+xf(y)
 
 e \"separando\" le variabili
 
 
 (1-f(y))/y = (1-f(x)/x = cost.
 
 
 da qua in poi le verifiche di rito, salvo errori ed omissioni.
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 16-07-2004 10:48 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-07-15 10:08, fph wrote:
 Sembra abbastanza sodo, per ora ho una \"quasi soluzione\" in cui non riesco a tappare un buco... si basa sullo scrivere fx^2+gx^2=1 e poi porre fx=cos w(x), gx=sin w(x), a quel punto salta fuori una formula di differenza di coseni...
 in ogni caso continuo a pensarci!
 ciao,
 --f
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 per questa equazione ho un problema, come dire, ... esistenziale.
 
 Qual in questo contesto una (buona) definizione delle funzioni sen(.) e cos(.)?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sprmnt, la soluzione sembra giusta <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 anch\'io ne ho trovata una simile (dopo il suggerimento di fph)
 
 ok, ora c\'è l\'altra (di cui non ho ancora visto una soluzione abbastanza \"agile\")
 
 vediamo un po\'...

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

La soluzione di Rocco e\' quasi identica alla mia. Per inciso, questa era una delle equazioni del TST 2002, e\' stata una delle equazioni che mi ha fatto pensare \"caspita, senza la lezione di Camillo questa non l\'avrei mai risolta...\" (pensiero da cui poi e\' nata la dispensa).
 
 Dovrei avere una soluzione \"umanamente leggibile\" per la funzionale da N a N; volete che la posti? [btw, per caso era in una qualche Cortona anche quella? Ha un qualcosa di familiare, potrei averla gia\' vista...]
 
 Per quella dei seni e coseni ci sto ancora pensando, purtroppo per ora nulla (se non una soluzione bacata e un\'idea che potrebbe funzionare supponendo qualcosina di piu\' della continuita\') <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> [quanto alla definizione... credo che qualunque definizione sensata vada bene, non e\' quello il problema]
 
 ciao,
 --f

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Dovrei avere una soluzione \"umanamente leggibile\" per la funzionale da N a N; volete che la posti? [btw, per caso era in una qualche Cortona anche quella? Ha un qualcosa di familiare, potrei averla gia\' vista...]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 già, anche quella proviene da Cortona 2002 (ma non era nel TST)
 e ho scoperto recentemente che proviene da una shortlist delle IMO (\'95, mi pare), ma devo dire che la soluzione che c\'è su kalva non mi piace + di tanto
 
 boh, magari lascia un po\' di tempo a chi sta provando a farla (sperando ci sia qualcuno che ci sta provando <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
 
 se fra un paio di giorni non campare nulla magari postala (così vedo se è meno contorta della mia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
 
 bye

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Trovato un modo di affrontare quella dei coseni:
 testo: trovare tutte le f:R->R tc
 f(y-x)=fxfy+gxgy
 sol:
 1) scambiamo x e y e notiamo che f e\' pari
 2) poniamo contemporaneamente x->-x e y->-y e otteniamo che gxgy=g(-x)g(-y). Escludendo le soluzioni nulle, questo significa che gx/g(-x)=gy/g(-y), e quindi gx/g(-x)=costante per tutti gli x. Ponendo x->-x nell\'ultima formula otteniamo c=1/c, quindi c=1 o c=-1 (cioe\' g o e\' pari o e\' dispari). Se pero\' g e\' pari, nel testo sostituiamo x->-x e abbiamo f(y+x)=fyfx+gygx=f(y-x), che implica f costante. Quindi (se escludiamo le sol. costanti) dev\'essere g dispari.
 3) abbiamo (ponendo x->-x)
 f(x+y)=fxfy-gxgy, e sommando membro a membro con quella del testo
 f(y+x)+f(y-x)=2fxfy. Ora, l\'Engel affronta nel testo questa equazione in modo metodico e contoso (scrive formule di somma e bisezione; prende il valore in un punto c e poi valuta su tutti i valori di tipo m/n*c) , e arriva a dire che le soluzioni continue sono solo cos kx e cosh kx. Nel nostro caso sono accettabili solo le prime, e per confronto con le formule di sottrazione dei coseni si ricava
 fx=cos kx
 gx= sin kx oppure -sin kx
 
 Cosi\' viene anche se ho dovuto ricondurmi a quella gia\' trattata dall\'Engel <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
 
 In generale non e\' che mi piaccia molto il modo dell\'Engel di trattare le EF, con queste funzioni \"tame\" e qualche argomento di analisi buttato li\'... Poi del resto come le tratta lui non c\'azzeccano molto con le IMO, forse ha in mente altri tipi di gare piu\' avanzate (analisi e continuita\' sono \"bandite\" alle IMO come nelle gare italiane, del resto avrebbero bisogno di un bell\'apparato teorico per essere trattate per bene...)
 
 comunque... alla prossima, ciao.
 --federico

Leblanc · Messaggio da **Leblanc** » 01 gen 1970, 01:33

grazie della soluzione... carina!
 
 Che testo/dispensa consigli per fare esercizi sulle funzioni, se non l\'Engel?

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Ahime\', purtroppo sulle e.f. c\'e\' pochino, e\' uno dei motivi per cui ho scelto quell\'argomento per scriverci una dispensa.
 Comunque, se cerchi esercizi il posto migliore dove cercarli sono le gare nazionali (per esempio ne trovi molte su Kalva). Per fortuna poi un\'equazione funzionale si riconosce a prima vista, anche cercando distrattamente.
 Quanto alla teoria non saprei cos\'altro consigliarti, forse frugando tra il materiale dei tutor trovo una dispensina di Slinko o di Berkeley ma credo poco altro. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> Sorry.
 
 ciao,
 --federico