Dato un triangolo ABC, sia H il suo ortocentro. Preso un punto D su BC, siano R ed S le sue proiezioni su AB e AC rispettivamente e sia M il punto medio di RS. Provare che DM passa per H se e solo se AB=AC.
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rl120704
Moderatore: tutor
Supposto ABC isoscele su BC,siano H l\'ortocentro di ABC
<BR>(intersezione delle altezze AT e BL), M il punto medio di RS
<BR>ed R\',S\',M\' le proiezioni ortogonali di R,S,M su BC .
<BR>1)Dalla similitudine dei triangoli BTH eD ATC si ricava:
<BR>HT:TC=BT:AT--->HT=(BT*CT)/AT e questa e\' la \"quota\" HT di H rispetto
<BR>BC.
<BR>(1) <!-- BBCode Start --><B>HT=(BT^2)/AT</B><!-- BBCode End -->
<BR>2)Dalla similitudine dei triangoli RBD e ABT si ricava:
<BR>DR/AT=BD/AB--->DR=(BD*AT)/(AB)
<BR>BR/BT=BD/AB--->BR=(BD*BT)/(AB)
<BR>RR\'=(BR*DR)/BD ovvero:
<BR>RR\'=(BD*BT)/AB*(BD*AT)/AB*1/BD=(BD*AT*BT)/(AB^2)
<BR>Analogamente, scambiando B con C,risulta:
<BR>SS\'=(CD*AT*CT)/(AC^2)
<BR>Ora si ha (essendo BT=CT e AC=AB):
<BR>MM\'=(RR\'+SS\')/2=(BC*AT*BT)/(2*AB^2)
<BR>Qundi la quota MM\' di M rispetto a BC e\':
<BR>(2) <!-- BBCode Start --><B>MM\'=(AT*BT^2)/(AB^2)</B><!-- BBCode End -->
<BR>Come si vede tale quota non dipende dal punto D,ovvero
<BR>quando D descrive la base BC, il punto medio M della corda
<BR>RS (ovviamente costruita come si dice nel quesito)
<BR>descrive la retta rm parallela a BC e da essa distante quanto MM\'.
<BR>Detto questo,dimostriamo che:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Se ABC e\' isoscele (su BC) allora D,M e H sono allineati </B><!-- BBCode End -->
<BR>( ...il reciproco lo lascio ad altri).Ovviamente in questo caso
<BR>sono valide la (1) e la (2).
<BR>Osserviamo che il quadrilatero ARDS e\' inscrittibile nella circonf.
<BR>di diametro AD (di cui sia O il centro);tale crf. passa anche per T.
<BR>Questo permette,con facili considerazioni di geometria elementare,
<BR>di affermare che:
<BR>(a) essendo AT bisettrice dell\'angolo BAC,T e\' il punto medio dell\'arco (minore)RS e che, quindi, i punti O,M,T sono allineati in quanto OM ed MT sono entrambi perpendicolari ad RS
<BR>(b) sono simili i triangoli ATD ed MM\'T ed anche i triangoli DHT e DMM\'
<BR>dove con H ho indicato (momentaneamente), non l\'ortocentro di ABC, ma
<BR>l\'intersezione di DM con AT.
<BR>Allora si ha:
<BR>AT/DT=MM\'/M\'T--->M\'T=MM\'*(DT/AT) ovvero per la (2):
<BR>M\'T=DT*(BT^2/AB^2)
<BR>HT/MM\'=DT/DM\' ---->HT=MM\'*(DT/DM\') ovvero:
<BR>HT=(BT^2*AT)/(AB^2)*DT/(DT-M\'T) cioe\':
<BR>HT=(BT^2*AT)/(AB^2)*DT*AB^2/[DT(AB^2-BT^2)] e in definitiva:
<BR>HT=BT^2/AT.
<BR>Questo ,per la (1),mostra che H e\' proprio l\'ortocentro di ABC e quindi
<BR>che i punti D,M ed H sono allineati ( nell\'ipotesi che ABC sia isoscele su BC).
<BR>Come ho detto, lascio il reciproco a qualche altro appassionato.Buon lavoro!
<BR>
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-07-2004 00:20 ]
<BR>(intersezione delle altezze AT e BL), M il punto medio di RS
<BR>ed R\',S\',M\' le proiezioni ortogonali di R,S,M su BC .
<BR>1)Dalla similitudine dei triangoli BTH eD ATC si ricava:
<BR>HT:TC=BT:AT--->HT=(BT*CT)/AT e questa e\' la \"quota\" HT di H rispetto
<BR>BC.
<BR>(1) <!-- BBCode Start --><B>HT=(BT^2)/AT</B><!-- BBCode End -->
<BR>2)Dalla similitudine dei triangoli RBD e ABT si ricava:
<BR>DR/AT=BD/AB--->DR=(BD*AT)/(AB)
<BR>BR/BT=BD/AB--->BR=(BD*BT)/(AB)
<BR>RR\'=(BR*DR)/BD ovvero:
<BR>RR\'=(BD*BT)/AB*(BD*AT)/AB*1/BD=(BD*AT*BT)/(AB^2)
<BR>Analogamente, scambiando B con C,risulta:
<BR>SS\'=(CD*AT*CT)/(AC^2)
<BR>Ora si ha (essendo BT=CT e AC=AB):
<BR>MM\'=(RR\'+SS\')/2=(BC*AT*BT)/(2*AB^2)
<BR>Qundi la quota MM\' di M rispetto a BC e\':
<BR>(2) <!-- BBCode Start --><B>MM\'=(AT*BT^2)/(AB^2)</B><!-- BBCode End -->
<BR>Come si vede tale quota non dipende dal punto D,ovvero
<BR>quando D descrive la base BC, il punto medio M della corda
<BR>RS (ovviamente costruita come si dice nel quesito)
<BR>descrive la retta rm parallela a BC e da essa distante quanto MM\'.
<BR>Detto questo,dimostriamo che:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Se ABC e\' isoscele (su BC) allora D,M e H sono allineati </B><!-- BBCode End -->
<BR>( ...il reciproco lo lascio ad altri).Ovviamente in questo caso
<BR>sono valide la (1) e la (2).
<BR>Osserviamo che il quadrilatero ARDS e\' inscrittibile nella circonf.
<BR>di diametro AD (di cui sia O il centro);tale crf. passa anche per T.
<BR>Questo permette,con facili considerazioni di geometria elementare,
<BR>di affermare che:
<BR>(a) essendo AT bisettrice dell\'angolo BAC,T e\' il punto medio dell\'arco (minore)RS e che, quindi, i punti O,M,T sono allineati in quanto OM ed MT sono entrambi perpendicolari ad RS
<BR>(b) sono simili i triangoli ATD ed MM\'T ed anche i triangoli DHT e DMM\'
<BR>dove con H ho indicato (momentaneamente), non l\'ortocentro di ABC, ma
<BR>l\'intersezione di DM con AT.
<BR>Allora si ha:
<BR>AT/DT=MM\'/M\'T--->M\'T=MM\'*(DT/AT) ovvero per la (2):
<BR>M\'T=DT*(BT^2/AB^2)
<BR>HT/MM\'=DT/DM\' ---->HT=MM\'*(DT/DM\') ovvero:
<BR>HT=(BT^2*AT)/(AB^2)*DT/(DT-M\'T) cioe\':
<BR>HT=(BT^2*AT)/(AB^2)*DT*AB^2/[DT(AB^2-BT^2)] e in definitiva:
<BR>HT=BT^2/AT.
<BR>Questo ,per la (1),mostra che H e\' proprio l\'ortocentro di ABC e quindi
<BR>che i punti D,M ed H sono allineati ( nell\'ipotesi che ABC sia isoscele su BC).
<BR>Come ho detto, lascio il reciproco a qualche altro appassionato.Buon lavoro!
<BR>
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 15-07-2004 00:20 ]
Dimostro il teorema reciproco:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Se D,M e H sono allineati (comunque si scelga D su BC)
<BR>allora ABC e\' isoscele (su BC) </B><!-- BBCode End -->
<BR>Scegliamo D coincidente col piede T dell\'altezza AT;inquesto caso
<BR>i punti T (ovvero D), M, H si trovano tutti su AT.Osserviamo ora che
<BR>la circonferenza ( di diametro AT e centro O) e\' sicuramente circoscritta
<BR>al quadrilatero RTSA ed inoltre OM e\' perpendicolare ad RS (perche\'
<BR>M e\' punto medio di RS) ed anche a BC.Cio\' significa che RS e\' parallela
<BR>a BC ed essendo AT la retta mediana di RS ,AT e\' anche mediana di ABC.
<BR>Ne segue che ABC e\' isoscele su BC ed,essendo dato,tale resta al variare
<BR>di D su BC.
<BR><!-- BBCode Start --><B>Se D,M e H sono allineati (comunque si scelga D su BC)
<BR>allora ABC e\' isoscele (su BC) </B><!-- BBCode End -->
<BR>Scegliamo D coincidente col piede T dell\'altezza AT;inquesto caso
<BR>i punti T (ovvero D), M, H si trovano tutti su AT.Osserviamo ora che
<BR>la circonferenza ( di diametro AT e centro O) e\' sicuramente circoscritta
<BR>al quadrilatero RTSA ed inoltre OM e\' perpendicolare ad RS (perche\'
<BR>M e\' punto medio di RS) ed anche a BC.Cio\' significa che RS e\' parallela
<BR>a BC ed essendo AT la retta mediana di RS ,AT e\' anche mediana di ABC.
<BR>Ne segue che ABC e\' isoscele su BC ed,essendo dato,tale resta al variare
<BR>di D su BC.