Progressione

[andrea84]

Questo è bello!
<BR>
<BR>In un cerchio di raggio unitario si tracciano 3 cerchi uguali mutuamente tangenti e di diametro massimo, e la parte di cerchio esterna ad essi viene colorata.
<BR>In ciascuno dei tre cerchietti si traccino altri 3 cerchietti come sopra e si colora la parte esterna a questi.
<BR>Dopo aver ripetuto questa procedura indefinitamente, si determini l\'area totale della regione colorata.
<BR>
<BR>Ciao
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: andrea84 il 30-07-2004 18:33 ]

[talpuz]

beh, i conti sembrano un po\' tediosi... (nn offenderti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>
<BR>cmq il procedimento è molto \"standard\": si scrive l\'area di un cerchio piccolo in funzione del raggio di quello grande, poi si somma il tutto (moltiplicando per 3 ogni volta, perchè in 1 cerchio grande ce ne stanno 3 piccoli) e viene fuori una serie geometrica

[talpuz]

uao! se non ho sbagliato i conti viene <B>pi</B>!!
<BR>
<BR>con un po\' di geometria, si ricava che se il raggio del cerchio grande è R, quello dei cerchi piccoli è R(2*sqrt(3)-3), e l\'area colorata (solo relativamente al cerchio considerato) vale pi*R²*(36*sqrt(3)-62)
<BR>
<BR>dunque considerando che il raggio del cerchio + esterno vale 1, sommando il tutto (e ricordando di moltiplicare per 3 ogni volta che si \"scende\" di un livello) si ottiene che l\'area cercata è
<BR>
<BR>pi*(36*sqrt(3)-62) + pi*(36*sqrt(3)-62)*3*(2*sqrt(3)-3)² + pi*(36*sqrt(3)-62)*3²*(2*sqrt(3)-3)⁴ + ... + pi*(36*sqrt(3)-62)*3^k*(2*sqrt(3)-3)^2k + ...
<BR>
<BR>cioè
<BR>
<BR>pi*(36*sqrt(3)-62)*sum[k=0->+inf](3*(21-12*sqrt(3)))^k
<BR>
<BR>che, ricordando che sum[k=0->+inf]x^k=1/(1-x) se |x|<1
<BR>
<BR>diventa proprio un appagante <B>pi</B>!!
<BR>
<BR>(sempre che non abbia sbagliato i conti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> )