Una relazione... difficile!

[karl]

Determinare la relazione tra i coefficienti di una
<BR>equazione (algebrica) del tipo:
<BR> <!-- BBCode Start --><B>x^3+ax^2+bx+c=0</B><!-- BBCode End -->
<BR>le cui radici sono eguali ai
<BR>seni degli angoli di un triangolo (non degenere).
<BR>Risultato( ovviamente da dimostrare):
<BR><!-- BBCode Start --><B>a(4ab-a^3-8c)=4c^2</B><!-- BBCode End -->
<BR>p.s.
<BR>Concettualmente il quesito non offre grosse difficolta\',ma
<BR>non sono riuscito a trovare una risoluzione decente
<BR>che non richiedesse un mare di calcoli.
<BR>Volete provare voi?
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 31-07-2004 15:02 ]

[JackSparrow]

Sono riuscito a dimostrare la formula, ma anche la mia soluzione richiede parecchi calcoli (probabilmente è uguale alla tua). Ho chiamato d, e, f i lati del triangolo; le tre soluzioni dell\'equazione sono pertanto d/2R, e/2R, f/2R (con R raggio della circonferenza circoscritta) da cui si ricava a = - (d + e + f)/2R, b = (de + ef + df)/4R^2, c = - def/8R^3. Per dimostrare l\'uguaglianza basta sostituire questi valori ad a, b e c, semplificare, sostituire (def)/4S a R (dove S è l\'area del triangolo), e poi scrivere S in funzione di d, e, f con la formula di Erone (S = (p(p - d)(p - e)(p - f))^(1/2)). Alla fine si riesce ad ottenere l\'identità, ma il problema si riduce a una questione di solo calcolo.
<BR>
<BR>Ciao.

[talpuz]

uhm...ok
<BR>
<BR>ma se non ci fosse stato il risultato sotto? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

[karl]

Effettivamente il problema non e\' tanto verificare una formula
<BR>gia\' nota ,quanto il trovarla!
<BR>Questo senza nulla voler togliere al buon lavoro di JSparrow.

[karl]

Gli angoli del triangolo siano alfa,beta,gamma (con alfa>=beta>=gamma),
<BR>sicche\' beta e gamma sono acuti ed i relativi coseni sono positivi.
<BR>Poniamo:
<BR>sin(alfa)=p,sin(beta)=q,sin(gamma)=r;pertanto sara\':
<BR>(1) p+q+r=-a,pq+pr+qr=b,pqr=-c.
<BR>Ora da alfa=180°-(beta+gamma) risulta:
<BR>sin(alfa)=sin(beta)cos(gamma)+sin(gamma)cos(beta), ovvero:
<BR>p=q*sqrt(1-r^2)+r*sqrt(1-q^2), da cui in successione si ricava:
<BR>(p-q*sqrt(1-r^2))^2=r^2-r^2*q^2
<BR>p^2+q^2-q^2*r^2-2pq*sqrt(1-r^2)=r^2-r^2*q^2
<BR>p^2+q^2-r^2=2pq*sqrt(1-r^2)
<BR>(p^4+q^4+r^4)-2(p^2*q^2+p^2*r^2+q^2*r^2)=-4p^2*q^2*r^2
<BR>(p^2+q^2+r^2)^2-4(p^2*q^2+p^2*r^2+q^2*r^2)=-4p^2*q^2*r^2
<BR>[(p+q+r)^2-2(pq+pr+qr)]^2-4[(pq+pr+qr)^2-2pqr(p+q+r)]=-4p^2*q^2*r^2
<BR>E per le (1):
<BR>[a^2-2b]^2-4[b^2-2ac]=-4c^2
<BR>Da cui:
<BR>a^4-4a^2*b+8ac=-4c^2 od anche:
<BR>a(4ab-a^3-8c)=4c^2 che e\' la relazione cercata.