<!-- BBCode Start --><B>1)Dimostrare che non esiste alcun intero il cui quadrato
<BR>abbia 19 come ultime due cifre decimali.
<BR>2)Determinare tutti gli interi il cui quadrato ha 29 come
<BR>ultime due cifre decimali.
<BR>3)Dimostrare che qualunque intero positivo,dispari ,minore di 100
<BR>e non multiplo di 5 compare come le ultime due cifre decimali del cubo
<BR>di un opportuno intero.</B><!-- BBCode End -->
Numeri&Numeri
Moderatore: tutor
1)
<BR>
<BR>(buttata lì)
<BR>
<BR>visto che la cifra delle unità del quadrato dipende solo dlla stessa cifra della base, questa deve avere come ultime 2 cifre x3 o x7 con 0<=x<=9
<BR>
<BR>se la base è x3, le ultime due cifre del quadrato coincidono con le ultime 2 cifre di (10x+3)<sup>2</sup>=100x<sup>2</sup>+60x+9
<BR>
<BR>quindi dovrebbe essere 60x==10 mod 100, chiaramente impossibile
<BR>
<BR>se invece prendiamo x7, (10x+7)<sup>2</sup>=100x<sup>2</sup>+140x+49
<BR>
<BR>quindi dovrebbe essere 140x==70 mod 100 anche questo impossibile
<BR>
<BR>(sono convintissimo che ci sia una soluzione migliore, cmq)
<BR>
<BR>(buttata lì)
<BR>
<BR>visto che la cifra delle unità del quadrato dipende solo dlla stessa cifra della base, questa deve avere come ultime 2 cifre x3 o x7 con 0<=x<=9
<BR>
<BR>se la base è x3, le ultime due cifre del quadrato coincidono con le ultime 2 cifre di (10x+3)<sup>2</sup>=100x<sup>2</sup>+60x+9
<BR>
<BR>quindi dovrebbe essere 60x==10 mod 100, chiaramente impossibile
<BR>
<BR>se invece prendiamo x7, (10x+7)<sup>2</sup>=100x<sup>2</sup>+140x+49
<BR>
<BR>quindi dovrebbe essere 140x==70 mod 100 anche questo impossibile
<BR>
<BR>(sono convintissimo che ci sia una soluzione migliore, cmq)
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
proseguendo...
<BR>
<BR>2)ce ne sono infiniti, direi...
<BR>
<BR>infatti basta che la base finisca con 23, oppure 73, oppure 27, oppure 77 (e quelli che soddisfano a una di queste condizioni sono gli unici)
<BR>
<BR>(la cosa si deduce immediatamente da quello che ho scritto prima, scrivendo 29 invece di 19)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 03-08-2004 18:51 ]
<BR>
<BR>2)ce ne sono infiniti, direi...
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<BR>infatti basta che la base finisca con 23, oppure 73, oppure 27, oppure 77 (e quelli che soddisfano a una di queste condizioni sono gli unici)
<BR>
<BR>(la cosa si deduce immediatamente da quello che ho scritto prima, scrivendo 29 invece di 19)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 03-08-2004 18:51 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
1) In effetti si poteva anche controllare la congruenza mod4, =-1, impossibile
<BR>
<BR>3) (10n+k)^3=...10nk^2 + k^3
<BR>
<BR>Ora, ponendo k=1,3,7,9 oettengo le altrettante cifre dispari finali, al variare di n posso produrre tutte le cifre delle decine (l\'ultima cifra della casellina di un numero dispari svaria fra tutte le possibili cifre, eccetto per il 5)
<BR>
<BR>3) (10n+k)^3=...10nk^2 + k^3
<BR>
<BR>Ora, ponendo k=1,3,7,9 oettengo le altrettante cifre dispari finali, al variare di n posso produrre tutte le cifre delle decine (l\'ultima cifra della casellina di un numero dispari svaria fra tutte le possibili cifre, eccetto per il 5)
"Si può perdonare a qualcuno l'aver fatto qualcosa di utile purché non l'ammiri" O. Wilde
2°
<BR>Poiche\' l\'ultima cifra del quadrato e\' 9 il numero cercato deve essere
<BR>del tipo :
<BR>(1) N=10x+3 ( o N=10x+7) ,da cui
<BR>N<sup>2</sup>=100x<sup>2</sup>+60x+9=10(10x<sup>2</sup>+6x-2)+29
<BR>Affinche\' si verifichi la condizione richiesta deve risultare:
<BR>6x-2==0 (mod 10), ovvero:
<BR>6x-2=10y--->3x-5y=1
<BR>Quest\'ultima equazione e\' una ordinaria diofantina la cui soluzione generale e\':
<BR>x=2+5t, y=1+3t con t in Z.Sostituendo in (1) si ottiene:
<BR>N=10(2+5t)+3=50t+23.
<BR>q.d.d.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 03-08-2004 23:37 ]
<BR>Poiche\' l\'ultima cifra del quadrato e\' 9 il numero cercato deve essere
<BR>del tipo :
<BR>(1) N=10x+3 ( o N=10x+7) ,da cui
<BR>N<sup>2</sup>=100x<sup>2</sup>+60x+9=10(10x<sup>2</sup>+6x-2)+29
<BR>Affinche\' si verifichi la condizione richiesta deve risultare:
<BR>6x-2==0 (mod 10), ovvero:
<BR>6x-2=10y--->3x-5y=1
<BR>Quest\'ultima equazione e\' una ordinaria diofantina la cui soluzione generale e\':
<BR>x=2+5t, y=1+3t con t in Z.Sostituendo in (1) si ottiene:
<BR>N=10(2+5t)+3=50t+23.
<BR>q.d.d.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 03-08-2004 23:37 ]