Disuguaglianza binomiale

[MindFlyer]

Questa l\'ho scoperta grazie ad un intervento divino. All\'inizio l\'ho posta come condizione ideale affinché valesse una certa bella cosa, poi ho scoperto che era anche vera!! Ma tu guarda il çu|0, a volte...
<BR>
<BR>Dimostrare che Coeff.Bin.(a,b) <= (a/b)^(2b), dove a>=2b.

[MindFlyer]

Nessuno ci vuole provare? <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

[Leblanc]

Tento io, anche se c’è una parte che non mi convince molto
<BR>So che il problema è stato proposto a Calde’ ma, se è stata trovata, non conosco la soluzione.
<BR>
<BR>Step1: Dimostro che (a-b+1)/(a-b)<= [(a+1)/a]^2
<BR> Eliminando i denominatori:
<BR> 0<=a^2-2ab+a-b
<BR> 0<=(a-1)^2+a-b-1
<BR> il quadrato è sempre positivo e b+1<=a è vera perche’ 2b<=a.
<BR>Step2: Dimostro che (a+1)/(a-b+1)<= [(a+1)/a]^2b
<BR> Per induzione su b:
<BR> se b=1 vale
<BR> moltiplicando membro a membro per (a-b+1)/(a-b)<=
<BR> [(a+1)/a]^2, si ottiene la disuguaglianza per b+1.
<BR>In questo passaggio non sono sicura di poter usare l\'induzione perche\' uso il fatto che a>=2b, quindi vale per una succesione finita di valori di b una volta fissato un certo a >= 2b, vedere anche la domanda che pongo qui sotto.
<BR>Step3: dimostro che (a b)<= (a/b)^2b
<BR> Per induzione su a:
<BR> se a=2b è vero perche’ viene (2b b)<=2^(2b), vera perche’
<BR> 2^(2b) è la somma dei termini della 2b-esima riga del triangolo
<BR> di Tartaglia, mentre (2b b) è uno dei termini;
<BR> moltiplicando membro a membro per (a+1)/(a-b+1)<=
<BR> [(a+1)/a]^2b si ottiene la disuguaglianza per a+1
<BR>
<BR>sfrutto l’occasione per chiedere chiarimenti su questo modo di applicare l’induzione:
<BR>Sia p_n una successione di proposizioni verificante le due condizioni seguenti:
<BR>p_0 è vera (2.1)
<BR>per ogni n <=k-1 la proposizione p_n implica p_(n+1) (in pratica si vuole dim che sono vere le proposizioni fino a k) (2.2)
<BR>Allora per ogni n <= k p_n è vera
<BR>
<BR>Dimostrazione:
<BR>Sia A l\'insieme costituito dai numeri naturali n <=k-1 tali che p_n è falsa.
<BR>Per assurdo, supponiamo A non vuoto. Poiche\' ogni sottoinsieme non vuoto di N ha un minimo, chiamiamo m=min A.
<BR>per 2.1, 0 non appartiene ad A
<BR>Dunque m-1 appartiene ad N ma non ad A. Dunque p_m-1 è vera e p_m è falsa. Ma cio\' contraddice la 2.2, con n=m-1.
<BR>
<BR>tiene lo stesso? a me pare di si\'.
<BR>

[MindFlyer]

L\'induzione su un insieme finito funziona ugualmente, come tu stessa hai dimostrato.
<BR>
<BR>La dimostrazione della disuguaglianza contiene invece un piccolo errore nello step 1, per fortuna rimediabile:
<BR>per passare da [0<=a^2-2ab+a-b] a [0<=(a-1)^2+a-b-1] hai dovuto supporre -2a<=-2ab, che naturalmente è vera solo se b=1.
<BR>La [0<=a^2-2ab+a-b] si può però scomporre in [2ab<=a^2] e [b<=a], che sono banali, e questo salva tutto il resto della dimostrazione.
<BR>

[MindFlyer]

<BR>Ecco un\'altra dimostrazione tirata fuori con l\'aiuto di un po\' di gente:
<BR>
<BR>Sfruttando il teorema binomiale ed il fatto che 1>b/a, si ha
<BR>1 = (b/a+1-b/a)^a >= C(a,b) (b/a)^b(1-b/a)^a-b,
<BR>da cui
<BR>(a/b)^b(a/(a-b))^a-b >= C(a,b).
<BR>Basta ora dimostrare che (a/b)^2b è >= del membro a sinistra, ovvero che
<BR>(a/b)^b >= (a/(a-b))^a-b.
<BR>Ponendo x = (a/b)-1 >= 1, la si può riscrivere come
<BR>x^x >= (x+1)^x-1,
<BR>che equivale a
<BR>x ln(x) >= (x-1) ln(x+1)
<BR>ln(x) >= (x-1)/x ln(x+1) + 1/x ln(1),
<BR>che è vera per la disuguaglianza di Jensen, tenendo conto che ln(x) è concava, che (x-1)/x e 1/x non sono negative ed hanno somma 1, e che
<BR>x = (x+1)*(x-1)/x + 1*(1/x).<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 10-08-2004 18:27 ]