\"Normali\" problemi...

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Questi due cominciano ad innervosirmi un pò, help me! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">
 
 1)Stefano lancia n+1 monete, e tra queste ne sceglie n in modo da massimizzare il numero di teste. Barbara lancia n monete. Chi ottiene più teste vince. In caso di parità vince Barbara. Qual è la probabilità di vittoria di Stefano?
 
 2)Dati due numeri pari m e n con m<n, dimostrare che se k è un numero reale tale che
 k>(m^2 + n^2)/2
 
 allora il polinomio
 p(x)= (x^2+k)(x-m)(x-n)+1
 
 ha due radici reali e due radici non reali.
 
 Sono bellini, ma non trovo soluzioni soddisfacenti... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 11-08-2004 22:31 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao.
 
 Ho pensato solo al pb. 1).
 
 Il modo più elegante che mi è venuto in mente è questo:
 
 Il gioco originale lo chiamo G. Considero il seguente gioco G\': Stefano lancia n+1 monete e Barbara ne lancia n, ognuno segna 1 p.to per ogni testa, ma Barbara ha un bonus di 1/2. E\' facile vedere che G\' è un gioco equo. [Se non ci credi, lo dimostro dopo in (*)]
 
 L\'esito di vittoria di G e di G\' sono identici tranne in un caso solo, ossia quando entrambi ottengono tutte teste. Solo in questo caso, Stefano vince G\' ma perde G. Questo evento ha probabilità 1/2^(2n+1). Ne segue che la probabilità di vittoria di Stefano per G è 1/2 - 1/2^(2n+1). Torna?
 
 (*) G\' è equo perché è equivalente a G\", in cui Stefano e Barbara fanno un punto per ogni croce e Barbara ha 1/2 p.to di bonus. Stefano vince G\' sse perde G\", quindi la probabilità di vittoria di Stefano è uguale alla sua probabilità di sconfitta e cioè G\' è equo.
 
 Alla prossima.
 
 M.

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Ho notato che prendendo m=n=2 e k=3 (dunque
 soddisfacenti le condizioni richieste) risulta:
 p(x)=(x^2+3)(x-2)^2+1 ed e\' facile vedere che:
 p(2)=1
 p(x)>1 per x diverso da 2.
 Ne segue che il minimo (assoluto) di p(x) e\' 1
 e cio\' comporta che p(x) non possa annullarsi mai per valori reali
 di x .In altre parole le radici di p(x) sono tutte immaginarie in
 contrasto con il quesito.
 Non e\' che nelle condizioni medesime c\'e\' qualcosa da cambiare?
 [la relazione 2mk>m^2+n^2 e\' giusta?]
 Mi scuso in anticipo se invece fossi io a sbagliare.
 Ciao.

Vasya · Messaggio da **Vasya** » 01 gen 1970, 01:33

E\' un problema della normale del 98, il testo originale è questo
 
 Dati due interi pari m e n con m < n, dimostrare che se k è un numero reale tale che k>(m²+n²)/2 allora il polinomio p(x)=(x²+k)(x-m)(x-n)+1
 
 
 credo che l\'errore sia dovuto alla trasformazione automatica del testo in HTML [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Vasya il 12-08-2004 17:26 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Pareva anche a me che dovesse essere cosi\'.
 Adesso ci si puo\' lavorare!
 Grazie.

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Avete proprio ragione, sono io che mi scuso per l\'errore <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ...
 
 Grazie per la correzione...
 
 (Bella la soluzione dell\' 1!)

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Osserviamo che :
 k>(m^2+n^2)/2>(3m^2+3n^2-2mn)/8 [ci servira\' in seguito].
 Ora e\':
 p\'(x)=4x^3-3(m+n)x^2+2(mn+k)x-k(m+n)
 p\'\'(x)=12x^2-6(m+n)x+2(mn+k)
 Poiche\' e\' p(m)=p(n)=1 esiste un x=c in (m,n)
 tale che p\'(c)=0.Dimostriamo che tale zero di p\'(x) e\' unico.
 Il discriminante D di p\'\'(x) e\':
 D/4=9(m+n)^2-24(mn+k) ,ed e\' D<0 se k>(3m^2+3n^2-2mn)/8
 che e\' vera per la premessa fatta.
 Dunque e\' p\'\'(x)>0 in R e quindi p\'(x) e\' crescente in R e pertanto
 puo\' annullarsi una sola volta per x=c.
 Essendo: p\'\'(c)>0 ,p(-inf)=p(+inf)=+inf ,x=c e\' un punto di
 minimo assoluto per p(x).
 Poniamo ora n=2n\' e m=2m\' (n\'>m\');si ha:
 p((m+n)/2)=p(m\'+n\')=1-[(n\'+m\')^2+k](n\'-m\')^2<0 e poiche\'
 p(c) e\' il minimo assoluto ,deve essere p(c)<0
 In conclusione risulta:
 p(m)=1>0,p(c)<0,p(n)=1>0 e dunque p(x) si annulla per
 due valori reali ,uno in (m,c) e l\'altro in (c,n).
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 12-08-2004 22:45 ]

Vasya · Messaggio da **Vasya** » 01 gen 1970, 01:33

La tua dimostrazione mi sembra giusta e ragionevole, volevo solo chiederti un chiarimento: Quando è che se un polinomio di grado n ha meno di n soluzioni reali si dice che altre sono immaginarie e quando sono reali coincidenti?( si dovrebbe guardare il delta se non sbaglio,ma si puo\' dedurlo dal grafico? )
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Vasya il 12-08-2004 21:39 ]

karl · Messaggio da **karl** » 01 gen 1970, 01:33

Dal punto di vista analitico il grafico non puo\' aiutarci molto
 (o puo\' servirci solo come prima ,grossolana approssimazione)
 dato che e\' troppo influenzato da fattori vari
 come precisione dei dati e del disegno,scala usata e cosi\' via.
 Per quanto riguarda il \"delta\" D,il suo calcolo per un\'equazione di 4°
 grado (e\' il nostro caso) non e\' dei piu\' agevoli e comunque
 non porta agli stessi risultati che conosciamo per un\'equazione
 di 2° grado.
 D e\' dato dalla formula:
 D=(x1-x2)^2*(x1-x3)^2*(x1-x4)^2*(x2-x3)^2*(x2-x4)^2*(x3-x4)^2
 ( xi sono le radici)
 che poi andrebbe espresso in funzione dei coefficienti (impresa non da poco).
 Dalla formula ,tuttavia, si puo\' trarre qualche utile conseguenza:
 per esempio,se le radici sono tutte reali e distinte oppure
 tutte complesse coniugate ,risulta D>0 .
 Ciao.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 12-08-2004 22:47 ]

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-12 20:22, Novecento wrote:
 [...]
 (Bella la soluzione dell\' 1!)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ...grazie [grasso compiacimento malcelato...]
 
 Ciao.
 
 M.

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

carina anche la soluzione del 2, però speravo di vederne una + semplice
 
 cmq si può risolvere anche per via grafica (anche se non è un granchè in quanto ad eleganza)
 
 p(x)=0 equivale a x2-(m+n)x+mn=(-1)/(x2+k)
 
 basta tracciare approssimativamente queste due curve per convincersi che non possono esserci + di 2 intersezioni
 
 per verificare che ce ne sono esattamente 2 basta verificare che l\'ordinata della curva al secondo membro nel punto (m+n)/2 sia > di quella del vertice della parabola, alchè è fatta