Esercizi facilini

[andrea84]

Ciao!
<BR>
<BR>Io propongo un\'idea per il primo:
<BR>Poniamo yi/xi=zi
<BR>
<BR>otteniamo:
<BR>(1+t1)*(1+t2)*...*(1+tn)>=[1+(t1t2...tn)^(1/n)]^n
<BR>
<BR>Sviluppiamo il secondo membro con Newton e otteniamo che:
<BR>
<BR>(1+t1)*(1+t2)*...*(1+tn)>=1+sum(i=0..n)(nCi)sqrt(n)(t1t2*...tn)^(n-i)
<BR>
<BR>dove (nCi è il coef binomiale di n su i e sqrt(n) è la radice ennesima)
<BR>Ora guardiamo a sinistra...se sviluppassimo quel prodotto avremmo che esso è equivalente alla somma dei prodotti composti prendendo 1,2,..n ti
<BR>((1+t1)(1+t2)(1+t3)=1+t1+t2+t3+t1t2+t2t3+t3t1+t1t2t3)
<BR>ora mi chiedo se applicassimo MA>=MG prima a t1+t2+...tn poi ai termini composti da due fattori e così via potremmo ottenere qualcosa di interessante???
<BR>
<BR>Chiedo scusa se mi sono spiegato da cani ma devo scappare
<BR>
<BR>Ciao
<BR>

[talpuz]

io farei un pensierino su jensen
<BR>
<BR>(la dimostrazione di karl, giustissima e molto \"sicura\" come strada, ricalca molto la dimostrazione della dis di jensen)

[Boll]

Op!
<BR>
<BR>Suvvia, nessuno prova le altre due... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

[Novecento]

Tento la terza, ma poco convinto (le dis non sono la mia specialità):
<BR>
<BR>Dimostreremo la tesi per induzione: per n=0 (o a 1) funziona, ipotizziamola vera per n, allora sarà vera anche per n+1, infatti a sinistra moltiplichiamo per sqrt(3)^(2n+1), mentre a destra per n+1, è chiaro che il termine di sinistra resterà sempre maggiore. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Novecento il 12-08-2004 21:51 ]

[andrea84]

Ciao Luca!
<BR>
<BR>per quanto riguarda la soluzione del terzo....dovresti far vedere che
<BR>3^(2n+1)*n!>(n+1)! cioè 3^(2n+1)>(n+1) che è vera (lo puoi vedere graficando le due curve)...quasi sicuramente è quello che hai scritto tu (e quindi mi scuso per l\'inutile ripetizione) ma dal testo non si capiva <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>Ciao
<BR>

[karl]

Mai fidarsi troppo dei grafici!
<BR>La relazione sqrt(3)^(2n+1)>n+1,secondo me,puo\' essere
<BR>a sua volta dimostrata per induzione.
<BR>Procediamo dunque al solito modo.Essendo vera per
<BR>n=1 (sqrt(3)^3>2),dimostriamo che e\' vera per n+1,supposto che
<BR>sia verificata per n.
<BR>Abbiamo:
<BR>sqrt(3)^[2(n+1)+1]=sqrt(3)^[2n+1+2]=sqrt(3)^(2n+1)*3>3(n+1)>(n+1)+1
<BR>che era q.d.d.
<BR>Ciao.

[Simo_the_wolf]

Faccio il 2.
<BR>Premettiamo che (2a)!<a^(2a). dim: x*(2a-x)<a² per GM-AM e iterato a volte con x che va da 1 ad a otteniamo (2a)!<=a^(2a-1)<a^(2a)
<BR>
<BR>Risolviamo il problema con induzione su m:
<BR>se n=m allora (2m)!<m^(2m)<(m²+m)^m
<BR>Supponiamolo vero per m-1 e dimostriamolo per m.
<BR>dobbiamo moltiplicare il primo membro per (m+n)/(m-n)=1+(2n)/(m-n) e il secondo membro per ((m+1)/(m-1))^n=(1+2/(m-1))^n>1+(2n)/(m-n) per la disuguaglianza di bernoulli. quindi c\'è una ulteriore maggiorazione e il secondo membro quindi rimane maggiore del primo.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Simo_the_wolf il 14-08-2004 15:21 ]

[Boll]

Si poteva fare anche per induzione su n, dopo aver osservato che la condizione di n<=m è data dal fatto che compare m-n al denominatore.
<BR>
<BR>Il caso di n=1 è banale perchè a destra si ha (m+1)!/(m-1)!<=m(m+1), 1<=1, sempre vero
<BR>
<BR>Il caso di n+1 è (m+n)!/(m-n)!* (m+n+1)(m-n)<= (m²+m)ⁿ*(m²+m)
<BR>quindi, visto che per n vale, resta da dimostrare che
<BR>(m+n+1)(m-n)<=m(m+1)
<BR>sviluppando e elidendo otteniamo
<BR>-n(n+1)<=0
<BR>sempre vera perchè n è positivo
<BR>