Diofantea

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Determinare le soluzioni intere di:
 
 x^2+y^2+z^2=x^2y^2
 
 
 Credo che l\'unica soluzione sia (0,0,0), magari poi posto la mia soluzione.
 
 Ciao

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Controllando le congruenze mod4 si determina che i tre numeri devono essere pari, possiamo quindi eliminare un fattore 4, ma torneremo alla stessa situazione di prima e iterando il procedimento si evince che l\'unica soluzione possibile è (0,0,0)...

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Luca!
 
 Uhm..come fai a dire che ritorni alla situazione iniziale? Mi spiego...
 
 x=2n
 y=2m
 z=2t
 Portano a n^2+m^2+t^2=4n^2m^2 che mi pare differente da quella iniziale..ma forse non ho ben capito cosa intendevi.
 Cmq posto anche la mia:
 Supponiamo esista una soluzione
 z^2+1=(x^2-1)(y^2-1) ora pongo x1=x^2-1 e y1=y^2-1
 e abbiamo che z^2+1=x1y1 (1).
 Sappiamo che TUTTE le soluzioni della (1) sono date da x1=a^2+b^2 y1=c^2+d^2 z=ac+bd con |ad-bc|=1.
 Quindi x^2=a^2+b^2+1, y^2=c^2+d^2+1 da cui analizzando le congruenze mod(4) abbiamo che a,b,c e d sono pari ma questo implica
 2||ad-bc| e questo è assurdo, dunque l\'unica soluzione è quella banale (0,0,0).
 
 Ditemi che ne pensate per favore
 
 Ciao <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Novecento · Messaggio da **Novecento** » 01 gen 1970, 01:33

Ciao, ottieni sì un espressione diversa, ma solo per un quattro che moltiplica il termine di destra, se non sbaglio le congruenze mod4 non cambiano...le nuove incognite devono essere di nuovo pari, e dunque risemplifichi...ci sarà un 16, ma è poco male, sempre che non mi stia sbagliando addirittura nel ragionamento...
 
 Invece, nel tuo procedimento, non capisco perchè le soluzioni debbano essere di quella forma (x1=a^2+b^2 ), forse è banale, ma non lo vedo...
 
 Ciao... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Marco · Messaggio da **Marco** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-08-12 11:32, Novecento wrote:
 Ciao, ottieni sì un espressione diversa, ma solo per un quattro che moltiplica il termine di destra, se non sbaglio le congruenze mod4 non cambiano...le nuove incognite devono essere di nuovo pari, e dunque risemplifichi...ci sarà un 16, ma è poco male, sempre che non mi stia sbagliando addirittura nel ragionamento...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Sembra che sia destino di intromettermi nei messaggi di 900... Anyway, il ragionamento è giusto. Di fatto dimostri con le congruenze m4 che l\'equazione della forma
 
 somma di 3 quadrati = quadrato pari,
 
 implica che i tre quadrati a primo membro sono di numeri pari. Però qui siamo sugli interi e non posso semplificare per due all\'infinito (fattorizzazione unica in numeri primi, ad esempio).
 
 L\'unico caso in cui posso farlo, è quando i tre numeri sono zero. Fine.
 
 Alla prossima.
 
 M.

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

dicesi discesa infinita, grazie zio Pierre
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>marco
 Da:IMO \'93 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 uhm...

pinturicchio · Messaggio da **pinturicchio** » 01 gen 1970, 01:33

Dal nome utente \"marco\" e dalla provenienza \"IMO \'93\", posso supporre che siamo in presenza di Marco Cammi, l\'italiano che, a quanto ne so, ha totalizzato il più alto punteggio di sempre alle IMO.
 
 A Istanbul, si piazzò 14°assoluto (a pari merito con altre 4 persone) su un totale di 410 concorrenti. Fece 33 punti e fu medaglia d\'oro (per i più curiosi il suo punteggio nei singoli esercizi fu: 7 2 6 4 7 7).
 
 Se non mi sto sbagliando, non posso che indirizzargli i miei più sentiti, quanto indegni, complimenti (anche se in ritardo di parecchi anni) e tempestarlo di domande circa quello che ha fatto dopo quelle IMO. Che studi hai intrapreso? Dove? Di cosa ti occupi al giorno d\'oggi?
 
 Nel caso avessi preso un terribile granchio, ignorate questo messaggio e accettate le mie scuse!
 
 Alla prossima!
 Pinturicchio [ Questo Messaggio è stato Modificato da: pinturicchio il 13-08-2004 18:37 ]