ancora un po\' di numeri

[Vasya]

Qualcuno ha qualche idea su questo?
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Esiste un naturale n>10^1000 non divisibile per 10, tale che nella sua rappresentazione decimale si puo\' scambiare due cifre distinte, diverse da 0, in modo tale che l\'insieme dei suoi divisori primi resta invariato?</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Vasya il 14-08-2004 17:40 ]

[Marco]

Io ce l\'ho l\'idea.
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<BR>Non la posto subito, perché rovinerebbe un po\' la soluzione a chi vuole tentare il problema e secondo me è un peccato.
<BR>
<BR>Fatemi sapere.
<BR>
<BR>Un saluto a tutti.
<BR>
<BR>M.

[Marco]

Ok. Dato che nessuno si è lamentato, non rovinerò la festa a nessuno se posto la soluzione.
<BR>
<BR>Il numero cercato esiste (ne esistono infiniti). Il mio esempio ha 1021 cifre, salvo errori di conti.
<BR>
<BR>Pigliate 14444....43 e scambiate la prima e l\'ultima cifra. (ci sono k-1 quattri)
<BR>
<BR>14...43 = 13 x 1...1 (k uni)
<BR>34...41 = 31 x 1...1 (k uni)
<BR>
<BR>Se scelgo il numero di uni (k) in modo tale che 1...1 sia divisibile sia per 13 che per 31, sono a posto. A quel punto è un giochetto di aritmetica modulare e 13 divide sse 6|k. Invece 31 divide sse 15|k. Se prendo 30|k, sono a posto. k=1020 è il più piccolo multiplo di 30 >= 1000.
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.