Potenze, potenze...

[Franchifis]

Chi mi dice esattamente quanto fa per n che tende a +infinito:
<BR>
<BR>(1/2)^((...((1/3)^(((1/4)^((1/5)^...^(1/n))))...)))
<BR>
<BR>In pratica e` la serie armonica dove ogni termine e` l\'esponente di quello che lo precede, fino ad 1/2.
<BR>
<BR>Calcolandolo fa pressappoco 0.65, ma quanto fa con esattezza?

[positrone]

<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: positrone il 17-08-2004 20:31 ]

[Catraga]

Si tratta di calcolare il limite ad infinitum della successione:
<BR>
<BR>a(n)=exp(1/2,exp(1/3,exp(....exp(1/n-1,1/n)))..)
<BR>
<BR>dove exp(a,b)=a^b
<BR>
<BR>Allora, non è detto che tale successione converga...
<BR>1) Bisogna dimostrare che è limitata sia sup. che inf.
<BR>2) Bisogna dimostrare che è monotona
<BR>Dato che non mi pare monotona (così ad occhio, non ho fatto conti, oscilla...)
<BR>bisogna dimostrare che esiste una partizione in 2 della successione a(n), ovvero una partizione in 2 dell\'insieme {a(n) : n in N} tali che i due insiemi di partizione siano infiniti e abbiano limite all\'infinito con egual valore in R. Forse le due partizioni sono {a(n) : n pari} e {a(n) : n dispari}...
<BR>Allora si può dire che il valore esiste ed è finito.

[Simo_the_wolf]

Non sono un esperto di calcoli ma a prima vista mi sembra che per i pari tenda a un pò + di 1/2 e per i dispari tenda a un pò meno di (1/2)^(1/3) ma non saprei dove metterci mano... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

[Catraga]

Nota:
<BR>Lo studio può essere semplificato definendo la funzione:
<BR>EXP(a,b)=exp(1/a,exp(1/(a+1),exp(....exp(1/(b-2),exp(1/(b-1),1/b))...)
<BR>il problema diviene:
<BR>Lim[a(n)]=Lim[EXP(2,n)]
<BR>
<BR>Ultimi risulati:
<BR>a(n) è limitata in intervallo [0,1]
<BR>La successione {a(2n), n in N} è crescente, mentre {a(2n+1), n in N} è decrescente.
<BR>Inoltre a(2n) < a(2n+1) per ogni n in N.
<BR>Bisogna ora trovare o Lim[a(2n)] e Lim[a(2n+1)] oppure Lim[a(2n)-a(2n+1)].
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 19-08-2004 17:27 ]