Insieme

[Franchifis]

A volte esiste il limite della somma di una serie e per definizione una serie ha elementi numerabili. Ma se questi non lo fossero?
<BR>
<BR>1. Esiste un insieme di numeri positivi con cardinalita\' superiore a quella dei numeri naturali tale che la somma di tutti i suoli elementi sia finita?
<BR>2. Esiste un insieme di numeri positivi con cardinalita\' uguale a quella dei numeri naturali tale che la somma di tutti gli elementi di tutti gli insiemi del suo insieme delle parti sia finita? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR>Se esistono dare degli esempi.

[Catraga]

Dato che così come era stato postato il msg, solo una stretta cerchia di adepti ne avrebbe compreso il significato (sia per incapacità mia nell\'uso dell\'italiano, sia per gli argomenti tirati in ballo), riformulo il tutto in due righe:
<BR>
<BR>Nessuna delle domande che tu hai posto ha senso logico. Spiegati meglio
<BR>
<BR>a) come fai a sommare gli insiemi?
<BR>b) cosa intendi per somma di un numero più che numerabile di elementi?
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 20-08-2004 08:36 ]

[MindFlyer]

Allora, mettiamola così:
<BR>possiamo generalizzare il concetto di somma ad una quantità più che numerabile di addendi reali dicendo che la somma degli a_i con i in I più che numerabile è pari al reale r se e solo se si può partizionare l\'intervallo di R [0,r) in #I sottointervallini del tipo [x,x+a_i). Diciamo che la somma è infinita se non esiste un reale r tale che valga ciò.
<BR>
<BR>Ora, succede che se I è formato da una quantità più che numerabile di a_i positivi, allora la somma è sempre infinita. Infatti, se esistesse una partizione di un intervallo [0,r) in una quantità più che numerabile di sottointervalli, e siccome ogni intervallo contiene un razionale, si arriverebbe all\'assurdo che i razionali sono più che numerabili.

[Franchifis]

Grazie a Mind Flayer ho avuto la risposta che cercavo.
<BR>In effetti io dicevo soltanto che se gli elementi di un insieme sono numeri, allora li posso sommare. E se l\'insieme contiene veramente tantissimi elementi (piu\' che numerabili) allora forse la loro somma non puo\' essere finita a prescindere dagli elementi stessi. Grazie!

[psion_metacreativo]

Ma per esempio se consideriamo un insieme I formato da due insiemi A e B ciascuno con cardinalità R. A contiene tantissimi (-1) appunto una cardinalità del reale e B invece altrettanti (+1), ora la somma degli elementi contenuti in I non è uguale a 0? eppure abbiamo sommato infiniti termini, con un infinito maggiore del numerabile.

[psion_metacreativo]

A ben pensarci la somma totale di R non è 0???

[Catraga]

Attento:
<BR>costruiamo una successione di 1 e -1 alternati:
<BR>1,-1,1,-1...
<BR>infinita.
<BR>Ora quanto vale la somma?
<BR>1-1+1-1+1-1+1-1+1-...
<BR>se calcoliamo:
<BR>(1-1)+(1-1)+(1-1)...=0
<BR>oppure:
<BR>1+(-1+1)+(-1+1)+...=1
<BR>quindi:
<BR>1=0
<BR>assurdo!
<BR>Bisogna sempre controllare che la serie converga!! Altrimenti un valore finito non ha singnificato! (Eulero pensava che la serie proposta facesse come somma 1/2... - ricordo che le serie sono state ben poste da Cauchy, dopo la nascita di Eulero... ).

[MindFlyer]

Psion, apposta ho specificato che gli addendi fossero tutti positivi: in questo modo la somma è ben definita. Se ammettiamo addendi negativi, non è molto chiaro come si debba definire la convergenza della sommatoria. Catraga, nel rispondere a Psion hai supposto che la sommatoria fosse su un insieme numerabile, e ciò che hai detto può essere applicato alle sommatorie più che numerabili solo dopo averle definite.