geometria

[karl]

Si consideri il triangolo ABC e sia r la retta per A parallela
<BR>a BC.
<BR>Da A si conduca una semirettta (non interna ad ABC) che tagli la
<BR>retta BC in M;su AM si scelga un punto P.
<BR>Le rette CP e BP taglino AB ed AC in F e E rispettivamente;
<BR>Le rette ME ed MF taglino r in H ed K rispettivamente.
<BR><!-- BBCode Start --><B>Dimostrare che i segmenti AH ed AK sono congruenti </B><!-- BBCode End -->
<BR>Posto anche la figura ..per i piu\' pigri
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/AXAY.bmp"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 17-08-2004 21:33 ]

[sprmnt21]

Se X=BC.FE {B,M,C,X} e\' una quaterna armonica, da cui deriva che se Y=AM.FE anche {F,Y,E,X} e\' armonica. Da cio\' deriva pure che il fascio {MF,MY,ME,MX} e\' armonico. Pertanto essendo {H,A,K,oo} armonica si ha che AH=AK.
<BR>
<BR>

[karl]

Bella soluzione!
<BR>Penso si riferisca alle proprieta\' di un quadrilatero piano completo.
<BR>In verita\' non avevo pensato ad una dimostrazione proiettiva
<BR>ma una piu\' modesta risoluzione elementare.
<BR>Eccola:
<BR>Dai triangoli simili [AHE,EMC] e [AFK,MBF] si ricava:
<BR>(1) AH/MC=EA/EC;AK/MB=AF/FB
<BR>Per il teorema di Ceva ,applicato ad ABC e alle ceviane
<BR>PB, PC,PA risulta:
<BR>AF/FB*MB/MC*CE/EA=1 da cui per le (1):
<BR>AK/MB*MB/MC*MC/AH=1 ovvero semplificando:
<BR>AK=AH.
<BR>Ciao.
<BR>