E per la cronaca, anche la seconda disuguaglianza proviene da un giornalino.
<BR>La soluzione proposta lì usa sostanzialmente la AM-GM, dopo aver operato la sostituzione x=b+c, y=a+c, z=a+b che schiarisce un po\' le acque.
Disuguaglianza
Moderatore: tutor
Scusate se contiuo imperterrito nella mia convinzione,ma credo che un briciola di verità ce l\'abbia:
<BR>Il polinomio (non mi vengono altri termini) a/(b+c)+b(a+c)+c/(a+b) è simmetrico e omogeneo(ma serve che sia omogeneo?),per cui il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore,che chiamiamo x.
<BR>
<BR>Sostiutuendo può succedere
<BR>*)o che la x si semplifica(come nel caso proposto),e il minimo è il numero che si ottiene svolgendo i calcoli(1/2+1/2+1/2=3/2)
<BR>**)o che la x non si semplifica.In questo caso bisognerà tener conto della limitazione dei numeri a,b,c.In particolare se i numeri a,b,c sono interi positivi
<BR>basterà porre x=0(a meno che non si annullino i denominatori).
<BR>Forse questo ragionamento pecca di rigore formale,ma funziona!
<BR>Disequazione di shur:
<BR>x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)>=0
<BR>Il polinomio è omogeneo e simmetrico,poniamo dunque x=y=z=t:
<BR>t(t-t)(t-t)+t(t-t)(t-t)+t(t-t)(t-t)
<BR>si semplifica la t ed esce fuori 0 che difatti è il minimo...
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 26-01-2005 14:50 ]
<BR>Il polinomio (non mi vengono altri termini) a/(b+c)+b(a+c)+c/(a+b) è simmetrico e omogeneo(ma serve che sia omogeneo?),per cui il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore,che chiamiamo x.
<BR>
<BR>Sostiutuendo può succedere
<BR>*)o che la x si semplifica(come nel caso proposto),e il minimo è il numero che si ottiene svolgendo i calcoli(1/2+1/2+1/2=3/2)
<BR>**)o che la x non si semplifica.In questo caso bisognerà tener conto della limitazione dei numeri a,b,c.In particolare se i numeri a,b,c sono interi positivi
<BR>basterà porre x=0(a meno che non si annullino i denominatori).
<BR>Forse questo ragionamento pecca di rigore formale,ma funziona!
<BR>Disequazione di shur:
<BR>x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)>=0
<BR>Il polinomio è omogeneo e simmetrico,poniamo dunque x=y=z=t:
<BR>t(t-t)(t-t)+t(t-t)(t-t)+t(t-t)(t-t)
<BR>si semplifica la t ed esce fuori 0 che difatti è il minimo...
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 26-01-2005 14:50 ]
beh, sketch della dimostrazione:
<BR>si dividono denominatori e numeratori per (a+b+c), così possiamo riscriverla come x/(1-x) + y/(1-y) + z/(1-z).
<BR>ma x = x - 1 + 1, quindi la \"cosa\" diventa
<BR>-3 + 1/(1-x) + 1/(1-y) + 1/(1-z), e si applica l\'am-hm per avere la tesi.
<BR>comunque sarebbe bello aprire un thread sullo stampo del già citato \"questa è bella\"... ne erano saltate fuori di cotte e di crude, lì.
<BR>m.
<BR>si dividono denominatori e numeratori per (a+b+c), così possiamo riscriverla come x/(1-x) + y/(1-y) + z/(1-z).
<BR>ma x = x - 1 + 1, quindi la \"cosa\" diventa
<BR>-3 + 1/(1-x) + 1/(1-y) + 1/(1-z), e si applica l\'am-hm per avere la tesi.
<BR>comunque sarebbe bello aprire un thread sullo stampo del già citato \"questa è bella\"... ne erano saltate fuori di cotte e di crude, lì.
<BR>m.
cu_fa, il ragionamento non è esattamente corretto..
<BR>o meglio, lo è nella fattispecie...
<BR>ma se ti trovassi di fronte a doppie limitazioni?
<BR>non ricordo esattamente, ma al preimo 2004 (negli esercizi della mattina) c\'era una doppia disuguaglianza che non si faceva certo così...
<BR>se qualcuno potesse provvedere a postarla, tanto per mostrarti che non sempre ragionare così porta a risultati corretti...
<BR>m.
<BR>o meglio, lo è nella fattispecie...
<BR>ma se ti trovassi di fronte a doppie limitazioni?
<BR>non ricordo esattamente, ma al preimo 2004 (negli esercizi della mattina) c\'era una doppia disuguaglianza che non si faceva certo così...
<BR>se qualcuno potesse provvedere a postarla, tanto per mostrarti che non sempre ragionare così porta a risultati corretti...
<BR>m.
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-26 12:16, MindFlyer wrote:
<BR>E per la cronaca, anche la seconda disuguaglianza proviene da un giornalino.
<BR>La soluzione proposta lì usa sostanzialmente la AM-GM, dopo aver operato la sostituzione x=b+c, y=a+c, z=a+b che schiarisce un po\' le acque.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per la cronaca la seconda disuguaglianza è \"nota\" come disuguaglianza di Nesbitt, sull\'Engel ce ne sono 4 o 5 dimostrazioni, tuttavia manca quella che serve per dimostrarne il caso generale, che è nel giorn mat 16 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>On 2005-01-26 12:16, MindFlyer wrote:
<BR>E per la cronaca, anche la seconda disuguaglianza proviene da un giornalino.
<BR>La soluzione proposta lì usa sostanzialmente la AM-GM, dopo aver operato la sostituzione x=b+c, y=a+c, z=a+b che schiarisce un po\' le acque.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per la cronaca la seconda disuguaglianza è \"nota\" come disuguaglianza di Nesbitt, sull\'Engel ce ne sono 4 o 5 dimostrazioni, tuttavia manca quella che serve per dimostrarne il caso generale, che è nel giorn mat 16 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-26 14:49, Cu_Fa wrote:
<BR>Scusate se contiuo imperterrito nella mia convinzione,ma credo che un briciola di verità ce l\'abbia:
<BR>Il polinomio (non mi vengono altri termini) a/(b+c)+b(a+c)+c/(a+b) è simmetrico e omogeneo(ma serve che sia omogeneo?),per cui il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore,che chiamiamo x.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mmmmm... boh??
<BR>
<BR>Assioma 1: sono troppo scarso sulle diseqz per poterti dire se hai torto o ragione.
<BR>
<BR>Modulo l\'assioma1, mi sembra che circa quasi manchino dei pezzi. Ad esempio: se hai un polinomio simmetrico e omogeneo, come
<BR>
<BR>x + y per x e y reali positivi: sicuramente non ha minimo.
<BR>
<BR>Altro controesempio:
<BR>
<BR>1/x + 1/y sullo stesso dominio: non ha minimo.
<BR>
<BR>Direi che deve essere omogeneo <!-- BBCode Start --><I>di grado zero</I><!-- BBCode End --> (i.e., se cambi tutte le variabili moltiplicandole per una costante k > 0, il risultato non cambia)
<BR>
<BR>Credo che corrisponda al caso (*) del tuo mail, quando dici \"la x si semplifica...\".
<BR>
<BR>E comunque non basta. Controesempio cretino: prendi la dsqz del giornalino 2 e cambiala di segno!! Certamente non puoi pretendere che abbia minimo dove x=y=z (dato che lì sappiamo esserci il max!!!)
<BR>
<BR>Insomma, temo che ci voglia ben di più. Comunque, uguagliare le variabili e trovare il massimo/minimo vincolato è in tutti i casi una buona idea: quanto meno è una strada che può servire per qualche guess interessante e costa pochissimo provarla (ad esempio, in esercizi del tipo si trovi il min/max di bla bla..., 101 volte su 100, l\'estremo sarà dove le variabili coincidono).[addsig]
<BR>On 2005-01-26 14:49, Cu_Fa wrote:
<BR>Scusate se contiuo imperterrito nella mia convinzione,ma credo che un briciola di verità ce l\'abbia:
<BR>Il polinomio (non mi vengono altri termini) a/(b+c)+b(a+c)+c/(a+b) è simmetrico e omogeneo(ma serve che sia omogeneo?),per cui il minimo si ottiene uguagliando le 3 variabili a,b,c ad uno stesso valore,che chiamiamo x.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mmmmm... boh??
<BR>
<BR>Assioma 1: sono troppo scarso sulle diseqz per poterti dire se hai torto o ragione.
<BR>
<BR>Modulo l\'assioma1, mi sembra che circa quasi manchino dei pezzi. Ad esempio: se hai un polinomio simmetrico e omogeneo, come
<BR>
<BR>x + y per x e y reali positivi: sicuramente non ha minimo.
<BR>
<BR>Altro controesempio:
<BR>
<BR>1/x + 1/y sullo stesso dominio: non ha minimo.
<BR>
<BR>Direi che deve essere omogeneo <!-- BBCode Start --><I>di grado zero</I><!-- BBCode End --> (i.e., se cambi tutte le variabili moltiplicandole per una costante k > 0, il risultato non cambia)
<BR>
<BR>Credo che corrisponda al caso (*) del tuo mail, quando dici \"la x si semplifica...\".
<BR>
<BR>E comunque non basta. Controesempio cretino: prendi la dsqz del giornalino 2 e cambiala di segno!! Certamente non puoi pretendere che abbia minimo dove x=y=z (dato che lì sappiamo esserci il max!!!)
<BR>
<BR>Insomma, temo che ci voglia ben di più. Comunque, uguagliare le variabili e trovare il massimo/minimo vincolato è in tutti i casi una buona idea: quanto meno è una strada che può servire per qualche guess interessante e costa pochissimo provarla (ad esempio, in esercizi del tipo si trovi il min/max di bla bla..., 101 volte su 100, l\'estremo sarà dove le variabili coincidono).[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-26 14:57, Cu_Fa wrote:
<BR>Lasciamo stare il caso in cui la x non si semplifica,(probabilmente il mio procedimento fa uso di concetti in generale falsi) ;ma se la x si semplifica?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>\"la x si seplifica\" significa che la funzione è costante sulla retta dove tutte le variabili sono uguali.
<BR>Gli esempi che ha presentato Marco per contraddirti funzionano tutti, ma la tua obiezione potrebbe giustamente essere che tutte le funzioni che ha citato non hanno in effetti minimo (è un po\' comodo dire \"il tuo criterio per trovare il minimo non funziona perché la funzione non ha minimo\"). E quindi ti chiederai \"Ma se la funzione ha minimo, la mia tesi vale?\".
<BR>Come avrai già immaginato, non vale. Ecco un modo per costruire un controesempio.
<BR>
<BR>- Considera la funzione F(x)=x^4-x^2, che ha minimo -2/9 in x^2=2/3, e vale 0 per x=0 (dunque x=0 non è un punto di minimo).
<BR>
<BR>- Vogliamo prendere l\'intervallo (-1,1) del dominio e \"spalmare\" la funzione sul quadrante x>0, y>0 del piano, in modo che risulti omogenea di grado 0 (come definito da Marco), ovvero che la funzione risultante sia costante su ogni retta passante per l\'origine. Possiamo farlo con la funzione G(x,y)=F(4*arctan(y/x)/pigreco-1), che oltretutto è simmetrica in x e y perché la F è pari (ovvero è simmetrica rispetto all\'asse delle ordinate).
<BR>
<BR>- Nota che G(x,y) è omogenea di grado 0, simmetrica in x e y, e ponendo x=y tutto si \"semplifica\" restituendo il valore costante 0. Ma il minimo, come abbiamo detto, è -2/9, e si trova sulle 2 rette y=tan(pigreco*(+/-sqrt(2/3)+1)/4)*x.
<BR>
<BR>- Se al posto di G(x) vuoi una funzione \"polinomiale\" (in una qualche accezione...), ti basta usare un\'approssimazione polinomiale di arctan(x), che trovi ad esempio scomponendola in serie di Taylor. La funzione H(x) risultante conserva banalmente tutte le proprietà che ci interessano, e contraddice definitivamente il tuo claim.
<BR>On 2005-01-26 14:57, Cu_Fa wrote:
<BR>Lasciamo stare il caso in cui la x non si semplifica,(probabilmente il mio procedimento fa uso di concetti in generale falsi) ;ma se la x si semplifica?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>\"la x si seplifica\" significa che la funzione è costante sulla retta dove tutte le variabili sono uguali.
<BR>Gli esempi che ha presentato Marco per contraddirti funzionano tutti, ma la tua obiezione potrebbe giustamente essere che tutte le funzioni che ha citato non hanno in effetti minimo (è un po\' comodo dire \"il tuo criterio per trovare il minimo non funziona perché la funzione non ha minimo\"). E quindi ti chiederai \"Ma se la funzione ha minimo, la mia tesi vale?\".
<BR>Come avrai già immaginato, non vale. Ecco un modo per costruire un controesempio.
<BR>
<BR>- Considera la funzione F(x)=x^4-x^2, che ha minimo -2/9 in x^2=2/3, e vale 0 per x=0 (dunque x=0 non è un punto di minimo).
<BR>
<BR>- Vogliamo prendere l\'intervallo (-1,1) del dominio e \"spalmare\" la funzione sul quadrante x>0, y>0 del piano, in modo che risulti omogenea di grado 0 (come definito da Marco), ovvero che la funzione risultante sia costante su ogni retta passante per l\'origine. Possiamo farlo con la funzione G(x,y)=F(4*arctan(y/x)/pigreco-1), che oltretutto è simmetrica in x e y perché la F è pari (ovvero è simmetrica rispetto all\'asse delle ordinate).
<BR>
<BR>- Nota che G(x,y) è omogenea di grado 0, simmetrica in x e y, e ponendo x=y tutto si \"semplifica\" restituendo il valore costante 0. Ma il minimo, come abbiamo detto, è -2/9, e si trova sulle 2 rette y=tan(pigreco*(+/-sqrt(2/3)+1)/4)*x.
<BR>
<BR>- Se al posto di G(x) vuoi una funzione \"polinomiale\" (in una qualche accezione...), ti basta usare un\'approssimazione polinomiale di arctan(x), che trovi ad esempio scomponendola in serie di Taylor. La funzione H(x) risultante conserva banalmente tutte le proprietà che ci interessano, e contraddice definitivamente il tuo claim.
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MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-27 11:48, MindFlyer wrote:
<BR>ti basta usare un\'approssimazione polinomiale di arctan(x), che trovi ad esempio scomponendola in serie di Taylor
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In realtà no, perché ti servirebbe da 0 a +infinito.
<BR>L\'ideale sarebbe trovare una qualunque funzione polinomiale (in senso lato) non costante tale che f(x)=f(1/x). Trovata questa, è fatta.
<BR>
<BR>EDIT: banalmente x+1/x.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 27-01-2005 14:17 ]
<BR>On 2005-01-27 11:48, MindFlyer wrote:
<BR>ti basta usare un\'approssimazione polinomiale di arctan(x), che trovi ad esempio scomponendola in serie di Taylor
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In realtà no, perché ti servirebbe da 0 a +infinito.
<BR>L\'ideale sarebbe trovare una qualunque funzione polinomiale (in senso lato) non costante tale che f(x)=f(1/x). Trovata questa, è fatta.
<BR>
<BR>EDIT: banalmente x+1/x.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 27-01-2005 14:17 ]
-
MindFlyer
<BR>
<BR>Ok, Cu_Fa. Eccoti servita la tua funzioncina:
<BR>
<BR>a(a-6b)/b<sup>2</sup> + b(b-6a)/a<sup>2</sup>, con a e b positivi.
<BR>
<BR>Ha tutte le proprietà che vuoi (simmetrica, omogenea di grado 0, le variabili \"si semplificano\", possiede minimo), eppure il tuo criterio fallisce: se a=b viene -10, mentre il minimo è -11, e si ha ad esempio per a=3+sqrt(5), b=2.
<BR><font color=white>
<BR>Per dimostrare che -11 è il minimo, nota che la funzione è uguale a
<BR>(a/b+b/a-3)<sup>2</sup>-11.
<BR>Ok, Cu_Fa. Eccoti servita la tua funzioncina:
<BR>
<BR>a(a-6b)/b<sup>2</sup> + b(b-6a)/a<sup>2</sup>, con a e b positivi.
<BR>
<BR>Ha tutte le proprietà che vuoi (simmetrica, omogenea di grado 0, le variabili \"si semplificano\", possiede minimo), eppure il tuo criterio fallisce: se a=b viene -10, mentre il minimo è -11, e si ha ad esempio per a=3+sqrt(5), b=2.
<BR><font color=white>
<BR>Per dimostrare che -11 è il minimo, nota che la funzione è uguale a
<BR>(a/b+b/a-3)<sup>2</sup>-11.
Proprio quando mi pregustavo il sapore della vittoria,ecco un maledetto controesempio che piega miseramente la mia teoria <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> .
<BR>E pensare che l\'avevo verificato per miliardi di formule<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">,che per l\'appunto avevo chiamto disequazioni Cufantee!
<BR>Vabbè...mi sa che è ora di mettermi a studiare matematica seriamente se voglio passare anche le provinciali!
<BR>
<BR>Ps.Consiglio un un buon testo sulle diseguaglianze in francese(si capisce tutto traducendo con google),già segnalato da fph,reperibile al link:
<BR>http://www.animath.fr/cours/inegalites.pdf
<BR>
<BR>
<BR>E pensare che l\'avevo verificato per miliardi di formule<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">,che per l\'appunto avevo chiamto disequazioni Cufantee!
<BR>Vabbè...mi sa che è ora di mettermi a studiare matematica seriamente se voglio passare anche le provinciali!
<BR>
<BR>Ps.Consiglio un un buon testo sulle diseguaglianze in francese(si capisce tutto traducendo con google),già segnalato da fph,reperibile al link:
<BR>http://www.animath.fr/cours/inegalites.pdf
<BR>
<BR>
-
MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-27 18:20, Hammond wrote:
<BR>Come si fa a \'tradurre con google\'?
<BR>ps: sorry for ignoranz
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Perdonato per l\'ignoranza.
<BR>Ma adesso lo sai: in questa sezione del forum, o proponi un problema o parli dei problemi già proposti.
<BR>Se hai una nuova domanda, cerca la categoria appropriata (se esiste) e, <!-- BBCode Start --><I>solo se è proprio il caso</I><!-- BBCode End --> (i.e. se una veloce ricerca non ti dà la risposta), scrivila in un <!-- BBCode Start --><I>nuovo thread</I><!-- BBCode End -->.
<BR>Questo si chiama ordine.
<BR>On 2005-01-27 18:20, Hammond wrote:
<BR>Come si fa a \'tradurre con google\'?
<BR>ps: sorry for ignoranz
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Perdonato per l\'ignoranza.
<BR>Ma adesso lo sai: in questa sezione del forum, o proponi un problema o parli dei problemi già proposti.
<BR>Se hai una nuova domanda, cerca la categoria appropriata (se esiste) e, <!-- BBCode Start --><I>solo se è proprio il caso</I><!-- BBCode End --> (i.e. se una veloce ricerca non ti dà la risposta), scrivila in un <!-- BBCode Start --><I>nuovo thread</I><!-- BBCode End -->.
<BR>Questo si chiama ordine.
Avevo detto Google?Mi sono sbagliato...In effetti esiste un traduttore su Google(vai su google.it/strumenti lingue),ma è migliore questo:
<BR>http://babel.altavista.com/tr?
<BR>Il traduttore non accetta accenti di ogni sorta,quindi bisogna levarli!<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 28-01-2005 06:14 ]
<BR>http://babel.altavista.com/tr?
<BR>Il traduttore non accetta accenti di ogni sorta,quindi bisogna levarli!<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 28-01-2005 06:14 ]