BlaisorBlade ha scritto:Una precisazione: nell'anello formato da $ a+b \sqrt{5} $ ho letto che cade, se non sbaglio, l'unicità della scomposizione in fattori primi (ad esempio, 9 = 3*3 e, mi pare, $ 9 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}) $...
Beh, senti, mettiamoci un po' d'accordo... L'anello cui ti riferisci qual è?!? Azzardando ragionevoli ipotesi, ché la precisione e il rigore, qui più che mai necessari, par che risultino per lo più a tutti sconosciuti, il tuo intervento si apre con un riferimento più o meno fumoso all'insieme $ \mathfrak{D}_1 := \{a+b\sqrt{5}: a, b\in\mathbb{Z}\} $, il quale effettivamente costituisce un dominio integrale complesso. Tuttavia, poco oltre, proponendo un esempio perfettamente allineato alla questione della fattorizzazione unica, ti si trova a scomporre il $ 9 $ da
tutt'altra parte, e precisamente nel sottoanello di $ \mathbb{C} $ definito dall'insieme $ \mathfrak{D}_2 := \{a+ib\sqrt{5}: a, b\in\mathbb{Z}\} $.
Sia come sia, invitando te e gli altri (per il solo beneficio della comunità) ad essere un pochetto più precisi quando scrivete di problemi e soluzioni, assumo (con il mio solito arbitrio [...]) che la questione sia incentrata su $ \mathfrak{D}_2 $, e di conseguenza ti rispondo! Concedimi innanzitutto una premessa, indispensabile comunque per coprire, quand'anche a te non appartengano, le lacune conoscitive dei meno esperti in materia: nelle curiose strutture di cui qui stiamo ragionando, come pure più semplicemente in $ \mathbb{Z} $, la presenza degli elementi unitariamente associati suggerisce e impone di abbandonare l'idea di una fattorizzazione unica, quand'anche possibile, intesa nell'accezione classica che si attribuisce al qualificativo "unica" contestualmente al monoide moltiplicativo dei numeri naturali.
Nei domini integrali, come pure in ambienti più generali di cui intenzionalmente fin qui si è taciuto, l'unicità della fattorizzazione (quand'anche questa sia possibile) si assume soddisfatta se i fattori coinvolti nella decomposizione in prodotto di questo o quell'altro intero (btw, gli elementi di un dominio integrale sono detti, senza troppi scrupoli, gli
interi del dominio, e si distinguono dagli interi ordinari riservando per questi ultimi la nomenclatura di
interi razionali) vengono determinati a meno di un'associazione tramite elementi unitari: più precisamente, due decomposizioni di uno stesso intero che si ottengano l'una dall'altra moltiplicando alcuni fattori per uno o più elementi unitari sono ritenute equivalenti, e come tali si assumono indistinte. L'unicità della fattorizzazione, là dove possibile, va dunque intesa in questa nuova accezione, tutto qui!!! Ecco pure perché, a un livello più profondo, non ha alcun senso giustificare l'esclusione dell'unità dal novero dei primi di $ \mathbb{N} $ adducendo giustificazioni parecchio aleatorie circa il fatto che, diversamente, l'unicità della fattorizzazione in primi ne risulterebbe (oddio!?!) irrimediabilmente compromessa. Quelle sono favolette che si raccontano ai bambini dell'asilo, casomai... L'esclusione è "per scelta", tanto basti!
E ciò detto, veniamo finalmente al tuo caso, BlaisorBlade. In effetti, l'insieme $ \mathfrak{D}_2 $, in quanto sottoanello di $ \mathbb{C} $, è giusto l'esempio di un dominio integrale complesso in cui la fattorizzazione (in irriducibili) degli interi manca di essere unica, nel senso di cui ho già diffusamente detto. Come provarlo? Beh, ci hai pensato già tu! Gli interi $ 3 $ e $ 2 \pm i\sqrt{5} $ sono irriducibili in $ \mathfrak{D}_2 $ (chi ce lo dimostra?!?). Inoltre, non sono a due a due associati. Infine: $ 9 = 3^2 = (2 + i\sqrt{5})(2 - i\sqrt{5}) $, ovvero esiste un elemento del dominio integrale che possiede in $ \mathfrak{D}_2 $ due fattorizzazioni in irriducibili unitariamente non equivalenti, e come tali distinte. Tanto penso che possa bastare...
EDIT: posso giustificarmi adducendo il vessato pretesto dell'ora tarda?!? O debbo rifilarvi la storia dell'invasione aliena che mi ha distratto quel tanto dalle glorie della scrittura?!? Ah, a proposito... Perché qualcuno non sistema il clock del server? Mente in modo spudorato...