Orue rubate a Marco

[Melkon]

Ravanando (poco) nel vecchio forum ho trovato questi di Marco. Li ripropongo perché mi sembrano non disprezzabili:

1) Ci sono due giocatori. Il primo possiede A = 100 orue e il secondo B = 10 orue. Lanciano una moneta (non truccata) e, se esce testa, A paga B un'orua, mentre se esce croce B paga A un'orua.
Calcolare la probabilità che A resti senza soldi; calcolare la probabilità che il gioco non finisca in un tempo finito. Generalizzare ad A e B qualunque.

Leggermente più difficile:
2) Un solo giocatore con A = 100 orue. Se esce testa paga un'orua, se esce croce riceve 0.99 orue. Calcolare la probabilità che resti senza soldi; calcolare la probabilità che il gioco termini in un tempo finito.

[DB85]

Non mi sembrano problemi tanto elementari... Si tratta di probabilità stocastica e delle cosiddette random walk. Più precisamente, sono symmetric random walk, di cui la prima a salti interi, la seconda evidentemente no.

Sicuramente mi sfugge qualcosa...

[pazqo]

a riguardo, propongo un mio problema di probabilità, che sembra simile a quello già proposto ma permette una soluzione "elementare". l'unica conoscenza teorica richiesta è la formula della convergenza per serie e i numeri di Fibonacci (il problema non è mio, ma la soluzione elementare sì...

PROBLEMA:
In realtà per questo problema non serve conoscere la teoria della probabilità. Basta sapere che la probabilità di un avvenimento è $ \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}} $.
In un gioco, io comincio con 3 monete, il mio avversario con 2. Non si sa come avviene il gioco, ma si sa che ho una probabilità di vittoria pari a $ \frac{2}{5} $. Questo significa che su 5 partite, ne vinco, in media, 2. Se vinco rubo una moneta all'avversario. Se perdo, ne ruba lui una a me. Il gioco finisce quando uno dei due termina le monete. Che probabilità ho di vincere?

Cose che possono tornare utili (oppure prendetele come suggerimenti qua sotto, in bianco. se volete visualizzarli, passateci sopra con il mouse. La linea divide i due suggerimenti:
Sui numeri di Fibonacci:
Può essere utile conoscere la formula di Binet per i numeri di Fibonacci:

$ F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $

dove $ F(0)=0 $, $ F(1)=1 $ e $ F(n+1)=F(n)+F(n-1) $.

Inoltre, $ \forall a \colon 0\leq a<1 $, si ha $ \sum_{n=0}^{+\infty}a^n = \frac{1}{1-a} $

Detto questo, dovreste avere tutto quanto vi possa servire per arrivare alla soluzione così come ci sono arrivato io
ciao

[DB85]

Penso che in questo caso, assunta con $ P(k) $ la probabilità di perdere tutto avendo k monete, si ha che:

$ P(k) = \frac{2}{5}P(k+1) + \frac{3}{5}P(k-1) $

[pazqo]

ma la fortuna dell'avversario è costante...
oppure non ho capito cosa intendi...

[gip]

Allora... dopo una giocata ho 4 monete con prob. $ \frac{2}{5} $ oppure 2 monete con prob. $ \frac{3}{5} $; dopo due giocate ho 5 monete (e quindi vinto) con prob. $ \frac{4}{25} $, ho 3 monete con prob. $ \frac{12}{25} $ oppure ho 1 moneta con prob. $ \frac{9}{25} $.

Indicando con $ P $ la prob. di vittoria partendo con 3 monete e con $ Q $ la prob. di vittoria partendo con 1 moneta, si ha quindi si ha:

[1] $ P = \frac{4}{25} + \frac{12}{25} \cdot P + \frac{9}{25} \cdot Q $.

Partendo con una moneta, invece, dopo una giocata ho 0 monete (e quindi perso) con prob. $ \frac{3}{5} $ , oppure ho 2 monete con prob. $ \frac{2}{5} $; dopo due giocate ho 3 monete con prob. $ \frac{4}{25} $, oppure 1 moneta con prob. $ \frac{6}{25} $.

Da questo ottengo:

[2] $ Q = \frac{4}{25} \cdot P + \frac{6}{25} \cdot Q $.

Mi resta quindi da mettere a sistema [1] e [2] e così ottenere $ P $; se non ho sbagliato i conti, dovrebbe venire $ P = \frac{76}{211} $.

In tutto questo però di Fibonacci però non se ne vede nemmeno l'ombra... avrò sbagliato qualcosa?

Ciao!!

[pazqo]

mi pare giusto, eccome!
Però mi sa di ragionamento che si può fare una volta che conosci almeno un po' le catene di Markov...
in effetti l'idea che avevo io era basata su un grafico che non è facile da riportare su questo forum. appena ci riesco, vi do la mia soluzione.

pazqo

[Marco]

Non mi sembrano problemi tanto elementari...

Beh, il primo no davvero. Se invece di 100 metti 2 o 3, congetturi la soluzione in tre balletti. Da lì a risolvere, ci vuole poco.