Forse gli "universitari" qui presenti non lo trovavano abbastanza tecnico per i loro gusti
ghgh...dall'IMC 2004:
Siano A matrice 4x2 e B matrice 2x4 tali che
AB=[
1 0 -1 0
0 1 0 -1
-1 0 1 0
0 -1 0 1
]
Trovare BA
prodotto di matrici
prodotto di matrici
Questo era passato quasi inosservato sul vecchio forum...
Forse gli "universitari" qui presenti non lo trovavano abbastanza tecnico per i loro gusti ghgh...
dall'IMC 2004:
Siano A matrice 4x2 e B matrice 2x4 tali che
AB=[
1 0 -1 0
0 1 0 -1
-1 0 1 0
0 -1 0 1
]
Trovare BA
Forse gli "universitari" qui presenti non lo trovavano abbastanza tecnico per i loro gusti
ghgh...dall'IMC 2004:
Siano A matrice 4x2 e B matrice 2x4 tali che
AB=[
1 0 -1 0
0 1 0 -1
-1 0 1 0
0 -1 0 1
]
Trovare BA
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Matrici.
Dal momento che mi sento chiamato in causa ...
Attenzione: questa soluzione va letta in condizioni di apnea... quindi trattenete il fiato e leggete veloci...
Indichero' con $ E_2 $ la mtrice identita' 2x2.
Blocchifichiamo tutti i calcoli con matrici nello spazio Mat(2x2,C), ovvero matrici 2x2 ad entrate complesse. Conseguentemente abbiamo che le matrici hanno la seguente forma:
$ \begin{array}{rcl} A & = & \left( \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \end{array} \right) \\ & & \\ B & = & \left( \begin{array}{cc} B_1 & B_2 \end{array} \right) \\ & & \\ A \cdot B & = & \left( \begin{array}{cc} E_2 & -E_2 \\ -E_2 & E_2 \end{array} \right) \end{array} $
Effettuando il prodotto righe-colonne, abbiamo le seguenti relazioni:
$ \begin{array}{ccc} A_1 B_1 & = & E_2 \\ A_2 B_2 & = & E_2 \\ A_1 B_2 & = & -E_2 \\ A_2 B_1 & = & -E_2 \\ \end{array} $
(Mentre scrivevo quest'ultimo pezzo e' stato interessante notare il comportamento dell'enviroment eqnarray... che ostinatamente aggiungeva dei pezzi non voluti quasi fosse dotato di vita propria...)
Utilizzando il teorema di Binet:
Il determinante e' omomorfismo di gruppi tra Mat(nxn,C) e C.
Abbiamo che i vari blocchi delle due matrici sono in GL(2,C), ovvero sono invertibili, otteniamo cosi' che:
$ \begin{array}{ccc} A_1 & = & B_1^{-1} \\ A_2 & = & B_2^{-1} \\ A_1 & = & -B_2^{-1} \\ A_2 & = & -B_1^{-1} \\ \end{array} $
le matrici hanno quindi la forma:
$ \begin{array}{rcl} A & = & \left( \begin{array}{c} A_1 \\ -A_1 \end{array} \right) \\ & & \\ B & = & \left( \begin{array}{cc} A_1^{-1} & -A_1^{-1} \end{array} \right) \\ \end{array} $
infine possiamo affermare che:
$ B \cdot A = A_1^{-1}A_1+A_1^{-1}A_1 = 2 E_2 $
Ora potete tornare a respiare.
...Attenzione: questa soluzione va letta in condizioni di apnea... quindi trattenete il fiato e leggete veloci...
Indichero' con $ E_2 $ la mtrice identita' 2x2.
Blocchifichiamo tutti i calcoli con matrici nello spazio Mat(2x2,C), ovvero matrici 2x2 ad entrate complesse. Conseguentemente abbiamo che le matrici hanno la seguente forma:
$ \begin{array}{rcl} A & = & \left( \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \end{array} \right) \\ & & \\ B & = & \left( \begin{array}{cc} B_1 & B_2 \end{array} \right) \\ & & \\ A \cdot B & = & \left( \begin{array}{cc} E_2 & -E_2 \\ -E_2 & E_2 \end{array} \right) \end{array} $
Effettuando il prodotto righe-colonne, abbiamo le seguenti relazioni:
$ \begin{array}{ccc} A_1 B_1 & = & E_2 \\ A_2 B_2 & = & E_2 \\ A_1 B_2 & = & -E_2 \\ A_2 B_1 & = & -E_2 \\ \end{array} $
(Mentre scrivevo quest'ultimo pezzo e' stato interessante notare il comportamento dell'enviroment eqnarray... che ostinatamente aggiungeva dei pezzi non voluti quasi fosse dotato di vita propria...)
Utilizzando il teorema di Binet:
Il determinante e' omomorfismo di gruppi tra Mat(nxn,C) e C.
Abbiamo che i vari blocchi delle due matrici sono in GL(2,C), ovvero sono invertibili, otteniamo cosi' che:
$ \begin{array}{ccc} A_1 & = & B_1^{-1} \\ A_2 & = & B_2^{-1} \\ A_1 & = & -B_2^{-1} \\ A_2 & = & -B_1^{-1} \\ \end{array} $
le matrici hanno quindi la forma:
$ \begin{array}{rcl} A & = & \left( \begin{array}{c} A_1 \\ -A_1 \end{array} \right) \\ & & \\ B & = & \left( \begin{array}{cc} A_1^{-1} & -A_1^{-1} \end{array} \right) \\ \end{array} $
infine possiamo affermare che:
$ B \cdot A = A_1^{-1}A_1+A_1^{-1}A_1 = 2 E_2 $
Ora potete tornare a respiare.