L'identità di Legendre-De Polignac

[HiTLeuLeR]

Identità di Legendre-De Polignac: per ogni intero $ n > 1 $: $ \displaystyle{n! = \prod_{p\: \mid n!} p^{\epsilon_p}} $, ove la produttoria si intende estesa ad ogni divisore primo intero positivo di $ n! $ ed $ \displaystyle{\epsilon_p = \sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor = \sum_{k=1}^{\lfloor\log_p (n)\rfloor}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor} $.

Segue quindi la versione olimpica dello stesso enunciato:

Identità di Legendre-De Polignac: se $ n $ è un intero $ > 1 $ e $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ i divisori primi interi positivi distinti di $ n! $ (con $ r\in\mathbb{N}_0 $), allora: $ n = p_1^{\epsilon_1} p_2^{\epsilon_2} \ldots p_r^{\epsilon_r} $, ove $ \displaystyle{\epsilon_k = \left\lfloor\frac{n}{p_k}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{p_k^2}\right\rfloor + \ldots + \left\lfloor\frac{n}{p_k^{\lfloor\log_{p_k} (n)\rfloor}}\right\rfloor} $, $ \forall k = 1, 2, \ldots, r $.

Questo risultato si rivela particolarmente utile in tutta una serie di problemotti piuttosto standardizzati che coinvolgono [click!] fattoriali, binomiali e compagnia bella...

Deh, voglia tu scusarmi, MindFlyer, se non sono stato poi così diligente come avresti voluto! E' soltanto che non ho saputo resistere alla tentazione di metterci comunque in mezzo un po' di simbolazzi... Perdonami, se puoi... E grazie - d'altra parte - dell'onor concessomi, eh... Mai si dica ch'io non porto gratitudine!!!

EDIT: oh, una distrazione di troppo: i primi coinvolti nelle formule sopra indicate sono divisori di $ n! $, e non già di $ n $. Detto in altre parole, le produttorie indicate sopra si estensono a tutti e soli i primi naturali $ \leq n $, così come segnalato da Marco, fatta eccezione per una piccola svista...

[Marco]

Due errata corrige

$ \displaystyle{n! = \prod_{p < n} p^{\epsilon_p}} $
[...]
$ n! = p_1^{\epsilon_1} p_2^{\epsilon_2} \ldots p_r^{\epsilon_r} $

[HiTLeuLeR]

$ \displaystyle{n! = \prod_{p < n} p^{\epsilon_p}} $

Eheh... Lì sul range della produttoria ci va un segno di "minore o uguale", e non di "minore stretto"...